Szuperszimmetrikus kvantummechanika

Az elméleti fizikában a szuperszimmetrikus kvantummechanika egy olyan tudományterület, ahol a nagyenergiájú fizika matematikai fogalmait alkalmazzák a kvantummechanika területén . A szuperszimmetria, amely alatt a bozonikusból fermionos operátorokká való átalakulást értjük, és fordítva, a folyamatos (bozonikus) és a diszkrét (fermionos) transzformációkat egyesíti. A modern elméletben a bozonokat a kölcsönhatás hordozóival, a fermionokat pedig az anyaggal társítják, de a szuperszimmetria képes volt egyesíteni ezt a két fogalmat. A szuperszimmetria a kvantumtérelmélet divergenciáinak kezelésében is hasznosnak bizonyult, ami érdeklődést váltott ki az elmélet iránt [1] .

Bevezetés

Matematikailag nehéz bizonyítani a szuperszimmetria következményeit , és nehéz olyan elméletet kidolgozni, amely bemutatná a szimmetriatörést, vagyis az egyenlő tömegű részecskék megfigyelhető partnereinek hiányát. E problémák megoldása érdekében a fizikusok kifejlesztették a szuperszimmetrikus kvantummechanikát , vagyis a szuperszimmetrikus szuperalgebrának a kvantummechanikára történő alkalmazásának elméletét , szemben a kvantumtérelmélettel . Remélhetőleg a szuperszimmetria következményeinek tanulmányozása ebben az egyszerű környezetben új meglátásokhoz vezet; Figyelemre méltó, hogy az ezzel járó előrelépések új kutatási irányok létrehozásához vezettek magában a kvantummechanikában.

Például a diákokat általában a hidrogénatom „megoldására” tanítják, mint egy fáradságos folyamatot, amely a Coulomb -potenciál Schrödinger-egyenletbe való beépítésével kezdődik . Számos differenciálegyenlet felhasználásával végzett jelentős munka után a Laguerre-polinomok ismétlődési relációit elemzéssel kapjuk meg . A végeredmény a spektrum : a hidrogénatom energiaállapotai (amit n és l kvantumszám jelöl ). A szuperszimmetriából merített ötletekkel a végeredmény sokkal alacsonyabb költséggel érhető el, nagyjából ugyanúgy, mint a harmonikus oszcillátor megoldásának operátori módszerével . [2] Hasonló szuperszimmetrikus megközelítés használható a hidrogén spektrumának pontosabb meghatározására a Dirac-egyenletek segítségével. [3] Ironikus módon ez a megközelítés hasonlít ahhoz, ahogy Erwin Schrödinger először használta a hidrogénatomot . [4] [5] Megoldását természetesen nem nevezte szuperszimmetrikusnak, hiszen maga a szuperszimmetriaelmélet harminc évvel később jelent meg.

A hidrogénatom szuperszimmetrikus megoldása csak egy példa a megoldások nagyon általános osztályára: az invariáns formapotenciálokra . alakinvariáns potenciálok . Ez a kategória magában foglalja a bevezető kvantummechanikai kurzusokon tanított lehetőségek többségét.

A szuperszimmetrikus kvantummechanika olyan Hamilton -párokat foglal magában, amelyek között sajátos matematikai összefüggések vannak. Hamiltoni partnereknek hívják őket . partner Hamiltonians . Ekkor a megfelelő potenciálokat a hamiltoniaknál partnerpotenciáloknak nevezzük . partner potenciálok ). A főtétel azt mutatja, hogy egy Hamilton-féle minden sajátállapotra a Hamilton-partner rendelkezik azonos energiájú sajátállapotokkal (kivéve a nulla energiájú sajátállapotokat . Ez a tény felhasználható a sajátállapot-spektrum számos tulajdonságának származtatására. Ez analóg a szuperszimmetria eredeti leírásához, amely a bozonokra és fermionokra vonatkozik. Elképzelhetünk egy "bozonikus Hamilton-féleséget", amelynek állapotai elméletünk különböző bozonjai. Ennek a Hamilton-féle szuperszimmetrikus partnere "Fermion", sajátállapotai pedig fermionokat írnak le. Minden bozon azonos energiájú fermionikus partnernek felel meg – de egy relativisztikus világban az energia és a tömeg felcserélhető, így egyszerűen azt mondhatjuk, hogy a partnerrészecskék tömege egyenlő.

A szuperszimmetria fogalma hasznos kiterjesztéseket biztosít a WKB közelítéshez , a Bohr-Sommerfeld kvantálási feltétel módosított változata formájában. Ezenkívül a szuperszimmetriát a nem kvantumstatisztikai mechanikában alkalmazzák a Fokker-Planck egyenlet segítségével . Ez a példa azt mutatja, hogy még ha az eredeti ötlet a részecskefizikában zsákutcába is vezet, más területeken való feltárása kiterjesztette a megértésünket.

Példa: harmonikus oszcillátor

A harmonikus oszcillátor Schrödinger-egyenlete ezt a formát ölti

H^{HO}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{ dx^{2))}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{ HO}\psi _{n}(x),

hol van az energia edik szintje . Kifejezést akarunk találni a függvény függvényében . Határozzuk meg az operátorokat $\psi _{n}(x)$ $n$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $n$

A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)

és

A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx}}+W(x),

ahol , amelyet magunknak kell kiválasztanunk, szuperpotenciálnak nevezzük . Határozzuk meg a Hamilton-partnereket és hogyan $W(x)$ $H^{HO}$ $H^{(1)}$ $H^{(2)}$

H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 ))}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)

H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2} ))+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).

A nulla energiájú alapállapot kielégíti az egyenletet $\psi _{0}^{(1)}(x)$ $H^{(1)}$

H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A ^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx))+W(x){\bigg )}\psi _{0 }^{(1)}(x)=0.

Feltételezve, hogy ismerjük a harmonikus oszcillátor alapállapotát, a következőt kapjuk $\psi _{0}(x)$ $W(x)$

W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m))}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\ psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}

Aztán azt találjuk

H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}

H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.

Most ezt láthatjuk

H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{HO}-{\frac {\hbar \omega }{2)).

Ez az alakváltozatlanság egy speciális esete, amelyet az alábbiakban tárgyalunk. Bizonyítás nélkül elfogadva a főtételt, nyilvánvaló, hogy a spektrum Spectra lépésekkel kezdődik és tovább növekszik, és azonos intervallumúak lesznek, de eltolódik -val , ill. Ebből következik, hogy a spektrum az ismerős formát ölti . $H^{(1)}$ $E_{0}=0$ $\hbar \omega .$ $H^{(2)}$ $H^{HO}$ $\hbar \omega$ $\hbar \omega/2$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}=\hbar \omega (n+1/2)$

A szuperszimmetrikus kvantummechanika szuperalgebra

A közönséges kvantummechanikában megtanuljuk, hogy az operátorok algebráját ezen operátorok közötti kommutációs viszonyok határozzák meg. Például a kanonikus pozíció- és impulzusoperátorok kommutátorral rendelkeznek . (Itt a " természetes mértékegységeket " használjuk, ahol a Planck -állandó 1-re van állítva.) Egy bonyolultabb eset a szögimpulzus- operátorok algebra ; ezek a mennyiségek szorosan összefüggenek a forgásszimmetriával a háromdimenziós térben. Ezt a fogalmat általánosítva definiálunk egy antikommutátort , amely az operátorok kapcsolatát határozza meg, akárcsak egy reguláris kommutátor, de ellenkező előjellel: $[x,p]=i$

\{A,B\}=AB+BA.

Ha az operátorokat antikommutátorok és kommutátorok is összekapcsolják, azt mondjuk, hogy egy Lie szuperalgebra részei . Tegyük fel, hogy van egy Hamilton-féle kvantumrendszerünk és egy operátorkészletünk . Szuperszimmetrikusnak nevezzük ezt a rendszert , ha a következő antikommutációs relációk mindenre érvényesek : ${\mathcal {H}}$ $N$ $Q_{i}$ $i,j=1,\ldots ,N$

Ha igen, akkor a rendszert szupertöltésnek nevezzük. $Q_{i}$

Példa

Tekintsünk egy példát egy egydimenziós, nem relativisztikus részecskére 2 ( vagyis két állapotú) belső szabadságfokkal, és nevezzük ezeket „spinnek” (ez nem pontosan spin, mert a valódi spin egy 3D-s részecske tulajdonsága). Legyen az az operátor, amelyik a részecske "felpörgését" "pörgéssé" alakítja. Adjunkt operátora a felpörgetett részecskét felpörgetett állapotba alakítja. Az operátorok úgy vannak normalizálva, hogy az antikommutátor . És persze ,. Legyen a részecske impulzusa és koordinátája -vel . Legyen (szuperpotenciál) egy tetszőleges komplex analitikai függvény , amely szuperszimmetrikus operátorokat határoz meg $b$ ${\displaystyle b^{\dagger ))$ $\{b,b^{\dagger }\}=1$ $b^{2}=0$ $p$ $x$ $[x,p]=i$ $W$ $x$

Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Vegye figyelembe, hogy a és önadjungált. Legyen a Hamilton $Q_1$ $Q_{2}$

H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2 }}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^ {\tőr }-b^{\tőr }b)

ahol W' a W származéka . Vegye figyelembe azt is, hogy { Q 1 ,Q 2 }=0. Ez nem más, mint N = 2 szuperszimmetria. Vegye figyelembe, hogy elektromágneses vektorpotenciálként működik . ${\displaystyle \Im \{W\))$

Nevezzük a spin-down állapotot „bozonikus”-nak, a felpörgési állapotot pedig „fermionikusnak”. Ez csak analógia a kvantumtérelmélettel, és nem szabad szó szerint érteni. Ezután Q 1 és Q 2 leképezi a „bozonikus” állapotokat „fermionikus” állapotokra, és fordítva.

Fogalmazzuk meg egy kicsit:

meghatározni

Q=(p-iW)b

és természetesen,

Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }

\{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0

és

\{Q^{\dagger },Q\}=2H

Egy operátor akkor „bozonikus”, ha a „bozonikus” állapotokat „bozonikus” állapotba, a „fermionos” állapotokat pedig „fermionikus” állapotba viszi. Az operátor „fermionos”, ha a „bozonikus” állapotokat „fermionos” állapotokká fordítja, és fordítva. Bármely operátor egyedileg kifejezhető a bozonikus és fermionikus operátorok összegeként. A szuperkommutátort [,} a következőképpen definiáljuk: két bozonikus operátor vagy egy bozonikus és egy fermionos operátor között nem más, mint egy kommutátor , de két fermionikus operátor között egy antikommutátor .

Ekkor x és p bozonikus operátorok, b , , Q pedig fermionikus operátorok. ${\displaystyle b^{\dagger ))$ ${\displaystyle Q^{\dagger ))$

A Heisenberg-jelölésben x , b és az idő függvényei ${\displaystyle b^{\dagger ))$

és

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}

[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }

[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}

[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0

Ezek a kifejezések általában nem lineárisak: azaz x (t), b (t), és nem alkotnak lineáris szuperszimmetrikus reprezentációt, mert nem feltétlenül lineárisak x -ben . A probléma elkerülése érdekében definiálunk egy önadjungált operátort . Akkor, $b^{\dagger }(t)$ $\Re\{W\}$ $F=\Re \{W\}$

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF

[Q,F\}=-{\frac {db}{dt))

[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }

[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF

[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0

[Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}

van a szuperszimmetria lineáris reprezentációja.

Most pedig vezessünk be két "formális" mennyiséget: és , ahol az utolsó az első konjugáltja, így $\theta$ ${\bar {\theta ))$

\{\theta ,\theta \}=\({\bar {\theta )),{\bar {\theta ))\}=\({\bar {\theta )),\theta \} =0

és mindketten bozonikus operátorokkal ingáznak, de fermionos operátorokkal ellenintéznek.

Ezután definiáljuk a szupermező fogalmát:

f(t,{\bar {\theta )),\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t )+{\bar {\theta }}\theta F(t)

f egy önadjungált operátor. Akkor,

[Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}fi{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,

[Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta )))fi\theta {\frac {\partial }{\partial t} } f.

Egyébként létezik egy U(1) R szimmetria is, ahol p , x , W nulla R-töltésű, míg R-töltés 1 és b R-töltése −1. ${\displaystyle b^{\dagger ))$

Invariáns forma

Tegyük fel , hogy valódi . Ezután leegyszerűsíthetjük a Hamilton-féle kifejezést $W$ $x$

H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}} (bb^{\tőr }-b^{\tőr }b)

A szuperpotenciáloknak bizonyos osztályai vannak, így a bozonikus és a fermionikus Hamilton-féle alakja hasonló. Kimondottan

V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})

hol vannak a paraméterek. Például egy hidrogénatom potenciálja szögimpulzussal felírható $a$ $l$

{\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+ 1 )}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}

Ez megfelel a szuperpotenciálnak $V_{-}$

W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)))-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}

V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2 }(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2} h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}

Ez az állandóval eltolt szögimpulzus potenciálja. Az alapállapot megoldása után szuperszimmetrikus operátorok segítségével megszerkeszthetjük a spektrum többi csatolt állapotát. $l+1$ $l=0$

Általánosságban elmondható, hogy mivel és potenciális partnerek, ugyanaz az energiaspektrumuk, kivéve egy alapállapotú energiát. Folytathatjuk ezt a partnerpotenciál keresési folyamatot az alakváltozatlanság feltételével, a következő képlet segítségével a potenciál paramétereitől függő energiaszintekre $V_{-}$ ${\displaystyle V_{+))$

E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})

hol vannak több partnerpotenciál paraméterei. $a_{i}$

Jegyzetek

↑ L. E. Gendenshtein , I. V. Krive. Szuperszimmetria a kvantummechanikában // UFN. - 1985. - T. 146 . - S. 553-590 .
↑ Valance, A.; Morgan, TJ és Bergeron, H. (1990), Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry , American Journal of Physics (AAPT). — V. 58(5): 487–491, doi : 10.1119/1.16452 , < http://link.aip.org/link/?AJP/58/487/1 > Az eredetiből archiválva 2013. február 24-én.
↑ Taller, B. (1992). Dirac-egyenletek. Szövegek és monográfiák a fizikáról. Springer.
↑ Schrödinger, Erwin (1940), A kvantummechanikai sajátértékek és sajátfüggvények meghatározásának módszere, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . — T. 46: 9–16
↑ Schrödinger, Erwin (1941), További tanulmányok a sajátérték-problémák faktorizálással történő megoldásáról, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . - T. 46: 183-206