Aldifferenciál

Az E Banach-térben definiált f függvény részdifferenciálja az egyik módja annak, hogy a derivált fogalmát tetszőleges függvényekre általánosítsuk. Használatával ugyan fel kell áldozni a leképezés egyediségét (az aldifferenciál értékei általában halmazok, nem pedig egyedi pontok), de ez elég kényelmesnek bizonyul: bármely konvex függvény aldifferenciálhatónak bizonyul a leképezésen. teljes definíciós tartomány. Azokban az esetekben, amikor egy függvény differenciálhatóságáról semmit sem tudunk előre, ez jelentős előnynek bizonyul.

Ráadásul az aldifferenciál (meglehetősen gyenge megszorításokkal a függvényre) sok tekintetben hasonlít a közönséges deriválthoz. Konkrétan egy differenciálható függvénynél egybeesnek, de egy nem differenciálható függvénynél úgymond „lehetséges származékok halmaza” egy adott ponton. Az aldifferenciál értékei az E * kettős tér konvex részhalmazai.

Definíció

Egy konvex függvény részdifferenciálja egy pontban az összes olyan lineáris funkcionális halmaz , amely kielégíti az összes egyenlőtlenséget $\partial f(x_{0})$ $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ ${\displaystyle x_{0))$ $p\in E^{*}$ $x\in E$

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

Egy függvényt aldifferenciálhatónak nevezünk egy ponton , ha a halmaz nem üres. $f(x)$ $x_{0}$ $\partial f(x_{0})$

A részdifferenciálishoz tartozó vektort a függvény részgradiensének nevezzük a pontban . $p\in E^{*}$ $\partial f(x_{0})$ $f(x)$ $x_0$

Tulajdonságok

$\partial f(x_{0})$ egy konvex (esetleg üres) halmaz $E^{*}$

Legyenek f 1 (x), f 2 (x) konvex véges függvények, és az egyik folytonos az x, , pontban $\lambda \geq 0$

$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{ 2}(x)\jobbra)$ , az összeg a Minkowski -összeg értelmében értendő .

$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

Ha egy függvény konvex és folytonos egy pontban , akkor ebben a pontban aldifferenciálható , vagyis a részdifferenciálja egy kompakt és konvex halmaz $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $x\in E$ $x\in E$ $\partial f(x)\neq \varnothing$ $\partial f(x)$

Legyen a függvény konvex és véges. Ebben az esetben a függvény akkor és csak akkor Gateaux- differenciálható egy pontban , ha a részdifferenciálja ebben a pontban egyetlen vektorból áll. $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $f(x)$ $x_{0}\in E$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x))\right\))$

Egy függvénynek akkor és csak akkor van lokális minimuma egy pontban, ha az adott pontban 0 az aldifferenciálishoz tartozik.

Ha egy konvex függvénysorozat pontonként konvergál egy konvex függvényhez , akkor bármely konvergens sorozat esetén a határértéke az aldifferenciálishoz tartozik . $f_n$ $f$ $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n))$ $\partial _{x_{0}}f$

Linkek

Polovinkin E. S., Balashov M. V. A konvex és erősen konvex elemzés elemei. - M. : Fizmatlit, 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3 .
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal A konvex elemzés alapjai. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .