Szerkezet (differenciálgeometria)

A differenciálgeometriában az elosztón lévő struktúra , egy geometriai mennyiség vagy geometriai objektumok mezője egy köteg egy szakasza, amely valamely elosztó fő koframe -kötegéhez kapcsolódik . Intuitív módon a geometriai mennyiség olyan mennyiségnek tekinthető, amelynek értéke nemcsak a sokaság pontjától függ , hanem a mag megválasztásától is, vagyis a pont infinitezimális koordinátarendszerének megválasztásától (lásd még a térképet ). ). $M$ $x$ $M$ $x$

Struktúra formális meghatározása egy sokaságon

A sokaságon lévő struktúrák formális meghatározásához vegyünk figyelembe — egy általános differenciális rendcsoportot (a tértranszformációk nullánál lévő -fúvókák csoportja, amelyek megőrzik a koordináták origóját), — egy -dimenziós sokaság nagyságrendű rendű koframe-ek sokaságát ( azaz a helyi térképek -sugarak sokasága a pontban origóval ) . $GL^{k}(n)$ $k$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M_{k}$ $k$ $n$ $M$ $k$ $j_{x}^{k}(u)$ ${\displaystyle u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n))$ $x=u^{-1}(0)$

A csoport balról lép fel a sokaságon a képlet szerint $GL^{k}(n)$ $M_{k}$

j_{0}^{k}(\varphi )j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^ {k}(\varphi )\in GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\in M_{k}.

Ez a művelet meghatározza a rendelési coframe kötegnek nevezett fő-köteg szerkezetét . $M_{k}$ $GL^{k}(n)$ $\pi _{k}:M_{k}\to M$ $k$

Legyen most egy tetszőleges -sokaság, azaz egy sokaság a csoport bal oldali akciójával , és legyen a a csoport bal akciójának pályáinak tere -ben . A köteget , amely a pályák terének természetes vetülete mind a kettőre , mind pedig -re, legfeljebb a rend típusú geometriai struktúrák kötegének, a szakaszait pedig a típusú struktúráknak nevezzük . Az ilyen típusú struktúrák természetes egy az egyhez megfeleltetésben vannak a -zquivariáns leképezésekkel . $W$ $GL^{k}(n)$ $GL^{k}(n)$ $W(M)$ $GL^{k}(n)$ $M_{k}\times W$ $\pi _{W}:W(M)\to M$ $M$ $W$ $M_{k}$ $W$ $k$ $W$ $GL^{k}(n)$ $S:M_{k}\to W$

Így a típusstruktúrák -értékes függvénynek tekinthetők különböző -kereteken, amelyek kielégítik a következő ekvivariancia-feltételt: $W$ $W$ $S$ $M_{k}$ $k$

S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.

A geometriai objektumok kötege természetes köteg abban az értelemben, hogy egy sokaság difeomorfizmuscsoportja automorfizmuscsoportként működik . $M$ $\pi _{W}$

Ha van egy vektortér lineáris (illetve affin) csoporthatású , akkor a típusstruktúrákat lineárisnak ( illetve affin ) nevezzük . $W$ $GL^{k}(n)$ $W$

Az elsőrendű lineáris struktúrák fő példái a tenzorszerkezetek vagy a tenzormezők . Legyen , és a csoport természetes tenzor reprezentációjával rendelkező tenzorok tere . A típusstruktúrát tenzor típusú mezőnek nevezzük . Ez egy vektorfüggvénynek tekinthető a koframe sokaságán , amely a coreperhez rendeli a tenzor koordinátáit a standard alaphoz képest $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$ $M_{1}$ $\theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})$ $S(\theta )_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ ${\displaystyle S(\theta )\in V_{q}^{p))$

\{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{ *j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}

terek . Lineáris koronatranszformációval a koordinátákat tenzorábrázolásban transzformáljuk : $V_{q}^{p}$ $\theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})$ $S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$

S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}} ^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1 }}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{ b_{q}}S(\theta )_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.

A tenzorszerkezetek legfontosabb példái:

Minden lineáris struktúrát (bármilyen sorrendben) kimerítenek a Rasevszkij-féle szupertenzorok [1] .

Másodrendű affin szerkezetre példa a torziómentes affin kapcsolat , amely típusú szerkezetnek tekinthető , ahol a természetes homomorfizmus magja , amely természetes csoporthatású vektortérnek tekinthető . $V_{(2)}^{1}$ $V_{(2)}^{1}\approx V\otimes S^{2}V^{*}$ $GL^{2}(n)\to GL^{1}(n)$ $GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}$

A struktúrák másik fontos és meglehetősen tág osztálya az infinitezimálisan homogén struktúrák vagy -struktúrák osztálya . Olyan típusú struktúrákként határozhatók meg , ahol a csoport homogén tere . $W$ $W=GL^{k}(n)/G$ $GL^{k}(n)$

Egy további általánosításhoz figyelembe vehetjük az általános -struktúrákat - a homomorf módon egy -struktúrára leképezett fő kötegeket és a kötegek hozzájuk kapcsolódó szakaszait. Ebben az esetben számos fontos általános geometriai struktúra jöhet számításba, mint például a spinor struktúrák , szimplektikus spinor struktúrák stb. $G$ $G$

Irodalom

Bourbaki, N. Halmazelmélet / Per. franciából - M . : Mir, 1965. - 457 p.
Veblen, O., Whitehead, J. A differenciálgeometria alapjai . - M. : IIL, 1949. - 230 p.
Sternberg, S. Előadások a differenciálgeometriáról . - M . : Mir, 1970. - 413 p.
Vasziljev, A. M. A differenciálgeometriai szerkezetek elmélete . - M. : MGU, 1987. - 190 p.
Laptev G. F. Magasabb rendű alapvető infinitezimális struktúrák sima sokaságon // A geometriai szeminárium anyaga. - 1. kötet - M. : VINITI , 1966, p. 139-189.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rasevsky P.K. A Moszkvai Matematikai Társaság közleménye. - 1957. - 6. v. - p. 337-370.