Grothendieck spektrális szekvencia

A Grothendieck spektrális szekvencia egy olyan spektrális szekvencia , amely az F és G származtatott funktorokból származtatott funktor összetételű funktorokat számít ki . $G\circ F$

Ha az és additív egzakt funktorokat hagyott az Abeli- kategóriák között , úgy, hogy az injektív objektumokat -aciklikussá teszi (vagyis azokat, amelyeken a funktorok eltűnnek , amikor ), és ha van elegendő injektív objektum a -ban, akkor a kategória minden objektumára , amely injektív felbontása van, létezik pontos sorrend: $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ $F$ $G$ $R^{p}G$ $p>0$ ${\mathcal {B}}$ $A$ $\mathcal{A}$

E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R }}^{p+q}(G\circ F)(A).

Az algebrai geometriában sok spektrális sorozat a Grothendieck spektrumsorozat speciális esete, mint például a Leray spektrumsorozat .

Példák

Leray spektrális szekvencia

Ha és topológiai terek , akkor legyen $x$ $Y$

{\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)

és az Abel-csoportok kévéinek kategóriái X -en, illetve Y -n , és

{\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)

{\mathcal {C}}=\mathbf {Ab}

az Abel-csoportok kategóriája.

Folyamatos megjelenítéshez

f:X\Y-ig

létezik (balra pontos) közvetlen képfunkció

f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)

Globális szekciófunkciókkal is rendelkezünk

\Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}

és

\Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .

Aztán azóta

\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}

és funktorok , és kielégítik a tétel feltevéseit (mivel a közvetlen képfunktornak hű bal adjunktja van , az injektív kötegek közvetlen képei injektívek, és különösen aciklikusak a globális szakaszfüggvény esetében), a spektrális sorozat a következő alakot ölti: $f_{*}$ $\Gamma _{Y}$ $f^{-1}$

H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal { F))

egy köteg Abel-csoporthoz -on , és ez pontosan a Leray spektrumsorozat. ${\mathcal {F}}$ $x$

A lokális és globális ext spektrumsorozata

Létezik egy spektrális sorozat, amely összeköti a globális Ext -et és az Ext-t: legyen F , G modulok kövei egy gyűrűs téren ; például séma . Akkor $(X,{\mathcal {O}})$

E_{2}^{p,q}=\operátornév {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G) )\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).

[egy]

Ez a Grothendieck spektrumsorozat egy speciális esete: valóban,

R^{p}\Gamma (X,-)=\operátornév {H} ^{p}(X,-)

, és .

R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F ,-)

R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operátornév {Ext} _{\mathcal {O}}^{ n}(F,-)

Ezenkívül az injektív -modulokat petyhüdt tárcsákra képezi le, [2] amelyek -aciklikusak. Ezért a feltételezések teljesülnek. ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ $\mathcal{O}$ $\Gamma (X,-)$

Jegyzetek

↑ Godeman, 1961 , II. fejezet, 7.3.3. tétel.
↑ Godeman, 1961 , II. fejezet, 7.3.2. lemma.

Irodalom

R. Godeman. Algebrai topológia és tárcsák elmélete. — M. : IN, 1961.
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Weibel, Charles A. Bevezetés a homológiai algebrába. Cambridge-i tanulmányok haladó matematikából. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4 .