Közvetlen képfunkció

A közvetlen képi funktor a köteg szakasza fogalmának általánosítása a relatív esetre.

Definíció

Legyen f : X → Y topológiai terek folytonos térképe , és Sh (-) jelölje egy topológiai tér Abel-csoportjainak kategóriáját . Közvetlen képfunkció

f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)

az X -en lévő F köteget egy előkötélbe viszi

f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)),

amiről kiderül, hogy egy kéve Y -on .

Ez a művelet funkcionális, abban az értelemben, hogy a φ: F → G kévemorfizmus X -en generálja az f ∗ (φ): f ∗ ( F ) → f ∗ ( G ) kévemorfizmust Y -n .

Példa

Ha Y egy pont, akkor a közvetlen képfüggvény egybeesik a globális szakaszfüggvénnyel.

Magasabb direkt képek

A közvetlen képfunkció bal-pontos, de általában nem jobb-pontos. Ezért figyelembe vehetjük a direkt képfunktor megfelelő derivált függvényeit. Ezeket magasabb direkt képeknek nevezzük, és R q f ∗ -vel jelöljük .

Magasabb direkt képek esetén a direkt képekhez hasonló kifejezést adhatunk: az X-en lévő F köteg esetében R q f ∗ ( F ) az előkötélhez tartozó köteg

U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U,F).

Tulajdonságok

A közvetlen képfüggvény pontosan konjugált az inverz képfüggvényhez , azaz bármely folytonos leképezéshez és X , Y - on van egy természetes izomorfizmus $f:X\Y-ig$ ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)),{\mathcal {F)))=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}), f_{*}{\mathcal {F)))

Ha f egy zárt X ⊂ Y altér beágyazása, akkor f ∗ pontos. Ráadásul ebben az esetben f ∗ egy kategóriaekvivalencia az X-en lévő tárcsák és az X - ben támogatott Y - tárcsák között . Ez abból következik, hogy a szál akkor egyenlő , ha , egyébként egyenlő nullával (itt X zártságát Y -ben használjuk ). $(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ ${\mathcal {F}}_{y}$ $y\in X$

Irodalom

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .