Szimlektikus elosztó

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A szimplektikus sokaság olyan sokaság , amelyen egy szimplektikus forma van definiálva , azaz egy zárt , nem degenerált differenciál 2-forma .

A szimplektikus sokaság legfontosabb példája a kotangens köteg . A szimplektikus struktúra lehetővé teszi a Hamilton-féle mechanika természetes geometriai úton történő bemutatását , és számos tulajdonságának vizuális értelmezését adja: ha egy mechanikai rendszer konfigurációs tere , akkor annak megfelelő fázistere . $T^{*}M$ $M$ $T^{*}M$

Definíció

A differenciális 2-formát szimplektikus szerkezetnek nevezzük , ha nem degenerált és zárt , azaz külső deriváltja nulla, $\omega$

d\omega =0,

és bármely nem nulla érintővektorhoz van olyan vektor , amelyre $v\in T_{x}M$ $w\in T_{x}M$

\omega (v,w)\neq 0.

A szimplektikus alakzatú sokaságot szimplektikus sokaságnak nevezzük . $M$

Jegyzetek

A definícióból következik, hogy a szimplektikus sokaságnak páros dimenziója van.
Ha a dimenzió , akkor az űrlap nem degeneráltsága ekvivalens a feltétellel . $M$ $2n$ $\omega$ $\omega ^{\wedge n}\neq 0$

Kapcsolódó definíciók

A szimplektikus sokaságok diffeomorfizmusát szimplektomorfizmusnak nevezzük , ha megőrzi a szimplektikus szerkezetet. $f\kettőspont M\-N$

Legyen tetszőleges sima függvény egy szimplektikus sokaságon. A szimplektikus forma a függvényt a következő azonosság által meghatározott vektormezőhöz rendeli: $H\colon M\to \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Ez a definíció analóg a gradiens definíciójával , és néha a függvény szimplektikus gradiensének is nevezik . $V_{H}$ $H$
- Az így nyerhető mezőt Hamilton -nak nevezzük . $V_{H}$
- Mivel a forma nem degenerált, a vektormező egyedileg meghatározott. A Darboux-koordinátákban ez a térkép a következő formát ölti $\omega$ $V_{H}$
${\pont {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\pont {{\mathbf p}}}=-{\frac { \partial H}{\partial {\mathbf q}}},$

megfelel a Hamilton-egyenleteknek , és Hamilton-függvénynek nevezik ( Hamilton - függvény).

H

A Poisson zárójelek a Hamilton-féle halmazt Lie algebrává alakítják , és a szabály határozza meg $M$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Tulajdonságok

Darboux tétele : Minden szimplektikus sokaság lokálisan szimlektomorf. Így a sokaság bármely pontjának szomszédságában kiválaszthatunk olyan koordinátákat, amelyeket Darboux-koordinátáknak nevezünk , amelyekben a szimplektikus alak alakja $\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$

Ebben az esetben a vizsgált szomszédság minden pontjának érintőterében a Darboux bázist választjuk .

A Hamilton-féle fázisáram megőrzi a szimplektikus szerkezetet (a Cartan képletből következik): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Itt van a Lie derivált a vektormezőre vonatkoztatva . Így a Hamilton-féle fázisáramlás szimlektomorfizmus.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

Pontosabban, mivel a térfogatforma a -on van, megkapjuk a Liouville-tételt a fázistérfogat megmaradásáról : $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Kapcsolattartó szerkezet

Minden szimplektikus dimenziós sokaság kanonikusan kapcsolódik egy dimenziós érintkezési sokasághoz , amelyet kontaktizációnak neveznek . Megfordítva, bármely -dimenziós érintkezési sokaságnak létezik a szimplektizálása , amely egy -dimenziós sokaság. $2n$ $(2n+1)$ $(2n+1)$ $(2n+2)$

Változatok és általánosítások

Egy sokaságot fokszám multisimplektikusnak nevezünk , ha egy zárt, nem degenerált differenciális k -alakot adunk meg . $k$

Lásd még

Szimbolikus tér

Linkek

D. V. Anosov . "A dinamikus rendszerek elméletének fejlesztéséről". Szimlektikus geometria.
5. előadás: Poisson zárójelek, differenciálformák és polivektorok 2013

Irodalom

Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Szimlektikus geometria. 2. kiadás - Izhevsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Matematikai és elméleti fizika tantárgy. - K . : TIMPANI, 2004. - 1040 p.
Fomenko A. T. Szimlektikus geometria. Módszerek és alkalmazások. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1988. - 414p.