Szimmetrikus funkció
Az n változóból álló szimmetrikus függvény olyan függvény, amelynek értéke az argumentum bármely n - es sorában megegyezik ennek az n -es sor bármely permutációjának értékével [1] . Ha például , a függvény lehet szimmetrikus minden változóra vagy párra , vagy . Bár utalhat bármely olyan függvényre, amelyhez n argumentum ugyanazt a tartományt tartalmazza, leggyakrabban polinomokra vonatkozik , amelyek ebben az esetben szimmetrikus polinomok . A polinomokon kívül a szimmetrikus függvények elmélete szegényes és kevéssé használt. Emellett általában nem fontos a változók pontos száma, úgy gondolják, hogy egyszerűen elég sok van belőlük. Az elképzelés szigorúbbá tétele érdekében a projektív határértéket az úgynevezett szimmetrikus függvények gyűrűjére használjuk , amely formálisan végtelen számú változót tartalmaz.
![{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcfdbd4a99e206c9240e4e934d574040cf7bce4)
![(x_{1},x_{2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bb1427314b1719774232fe0d156a0edacf1ced)
![{\megjelenítési stílus (x_{2},x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd751086ea09720d0f6cd1388b2589f1dd94003)
![{\megjelenítési stílus (x_{1},x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea170c21cde6cbe6477add5fdc9a1851556ee694)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
Szimmetrizáció
Tetszőleges n változóból álló f függvény egy Abel-csoportban értékkel (vagyis egy kommutatív művelettel rendelkező csoportban), szimmetrikus függvény állítható elő, ha összeadjuk f értékét az argumentumok összes permutációjával. Hasonlóképpen, az antiszimmetrikus függvény megszerkeszthető az összes páros permutáció összegeként, amelyből kivonjuk az összes páratlan permutáció összegét. Ezek a műveletek természetesen irreverzibilisek, és egy f nem triviális függvény esetén azonos nulla függvényhez vezethetnek . Az egyetlen eset, amikor f visszaállítható, ha a függvény szimmetrizációja és antiszimmetrizációja ismert, az az, amikor n = 2, és az Abel-csoport osztható 2-vel (a megkettőzés inverze). Ebben az esetben f egyenlő a szimmetrizáció és az antiszimmetrizáció összegének felével.
Szimmetrikus függvények gyűrűje
Tekintsük egy szimmetrikus csoport hatását egy polinomgyűrűn n változóban. Változók permutálásával működik. Mint fentebb említettük, a szimmetrikus polinomok pontosan azok, amelyek nem változnak a csoport elemeinek hatására. Így algyűrűt alkotnak:
![{\displaystyle S_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b359941bcd006c7401062a480d279ebe8d3ebc2)
Viszont egy osztályozott gyűrű :
![{\displaystyle \Lambda _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f399e517734dcac62e73b2280c9c81d218ecff)
![{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89993ceb13d14e36a62e64007fb0f9fcf2f1702)
, ahol k fokú homogén szimmetrikus polinomokból , valamint egy nulla polinomból áll.
Ezután a projektív határérték segítségével definiáljuk a k fokú szimmetrikus függvények gyűrűjét :
Végül kapunk egy fokozatos gyűrűt , amelyet szimmetrikus függvények gyűrűjének nevezünk.
![{\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0045e7bf829d60a7fbbd3c400b6f4384fa2ec3)
Megjegyzések.
nem projektív határérték (a gyűrűk kategóriájában). Például egy végtelen szorzat nem szerepel benne , mert tetszőlegesen nagyfokú monomokat tartalmaz.![{\displaystyle \Lambda _{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436dbfeedc7bec4dcac3fe9f4e4bccc890e5b2e5)
![{\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd76bb0f78dfc418b18f16d0e8d209e09bc8129e)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
- A "determináns"-nak szintén nincs megfelelője a -ban .
![{\displaystyle (\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716f0f874d4f2f8c491b68931212629171875c5e)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
Alapok a szimmetrikus függvények terében
- Monomiális alap. Minden partícióhoz definiálunk egy monomot, amely nem szimmetrikus polinom, és csak véges számú változót tartalmaz, amelyek nem nulla fokozattal lépnek be. Most összegezzük a belőle kapott monomokat az indexek összes lehetséges permutációjával (minden monomot csak egyszer összegzünk, még akkor is, ha több különböző permutációval is megkaphatjuk): . Könnyű megérteni, hogy azok, amelyek alapot képeznek , és ezért mindegyik alapot képez , amelyet monomiálisnak neveznek.
![{\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\pontok )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d50f449cba37e3839e546f40245380af8ba576)
![{\displaystyle x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5f66ca2e7f56c676bb272715c7be4ff7f52ef4)
![{\displaystyle x_{\alpha }^{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad541ab3efc961aff2251a648c7f93c2f993e998)
![\alpha](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
![{\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df4d2dbec14622aa240c5a39ba2122b1a609c9d)
![{\displaystyle m_{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d094220f3fa459abfc2d84a2e23d9a01e5519a8b)
![{\displaystyle |\lambda |=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b961898fa9ec8ea962a7cec658113868ca5c05d4)
![{\displaystyle \Lambda ^{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b5fbbc36e8db92ba9cc871db857f2f1a4de432)
![{\displaystyle m_{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d094220f3fa459abfc2d84a2e23d9a01e5519a8b)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
- Elemi szimmetrikus függvények. Minden egész számhoz megadjuk — r különböző változóból származó összes lehetséges szorzat összegét . Így a következőhöz:
![{\displaystyle r\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa96c19954fcda2695f988938ccf091d2bc2bbae)
![{\displaystyle e_{r))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f015d7f22251235bde1a052f85eb03ff52e66642)
![{\displaystyle e_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f06d4cf4ea8c2fd4fcf76296f8e55ff97d0d250)
![{\displaystyle r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd)
![{\displaystyle e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\pontok x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eefbc2e54dc4306be4b294a731e246766ade81d)
Minden partíció elemi szimmetrikus függvénye a Térbeli bázist alkotnak .
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
![{\displaystyle e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8dd449e2ea08623d84fc92c1ec414eb87169c2)
- Teljes szimmetrikus függvények. Minden egész számra meghatározzuk — az összes r fokú monomiális függvény összegét . Így a következőhöz:
![{\displaystyle r\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa96c19954fcda2695f988938ccf091d2bc2bbae)
![{\displaystyle h_{r))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b8534147ad8c99d738c25c0ecc134ddef19fd3)
![{\displaystyle h_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9bfc977e9fe3f838453d672c59f48d31d442b8)
![{\displaystyle r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd)
![{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861fb38ceb6ba769747bbf63c76988be58b3338)
Továbbá, mint az elemi függvények esetében, beállítjuk
- Erőösszegek. Mindegyik esetében a hatványösszeg ún .
![{\displaystyle r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd)
![{\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3a1ca6713d48d1cc10275e611ed067fe97a4a9)
A particionáláshoz a teljesítményösszeg a következőképpen van meghatározva![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
Identitások.
, minden k > 0 esetén
, minden k > 0 esetén
, minden k > 0 esetén .
Relációk a függvények generálásához.
Ezt könnyű megmutatni
Is
Ebből következik az összefüggés
Végül, .
![{\displaystyle P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09094d33a04e5264090f95b48002eb7a99473b73)
Hasonlóan kapunk .
![{\displaystyle P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c737d7475a677a0f286ba60729872e3ad6fc2be)
- Schur függvények . Legyen véges számú változóés olyan partíció, hogy(a partíció hossza nem haladja meg a változók számát). Ekkor egy n változóspartíció Schur-polinomjaegy homogén fokú szimmetrikus polinom. A-nál ezek a polinomok egyetlen elemhez konvergálnak, amelyet Schur partíciós függvénynek neveznek.
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c2d357bc1b965979bf171b5ba3bac0f68961c2)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
![{\displaystyle l(\lambda )\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da22a96cbd9259f3d8c1c362ecbc5d0adafc084d)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
![{\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164d978af55132ea0426c39df1a3acf77909e5c7)
![{\displaystyle |\lambda |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92d2419f2d2ad612edb802a7727b4f4eb07f3c8)
![n\jobbra \infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee)
![{\displaystyle s_{\lambda }\in \Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5b3fa56e6d95d27b148dd88f2d4a9d65c9eabc)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
- Jack funkciói . Egy speciális skaláris szorzat bevezetésévela Schur-függvények általánosításra kerültek, megőrizve számos tulajdonságukat.
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
Alkalmazások
U-statisztika
A statisztikában egy n -mintás statisztika ( n változó függvénye), amelyet úgy kapunk, hogy bootstrap szimmetrizált egy statisztikát egy k elemből álló mintán, n változóból álló szimmetrikus függvényt ad , amelyet U-statisztika -nek nevezünk . Ilyen például a minta átlaga és a minta varianciája .
Lásd még
- Elemi szimmetrikus polinomok
- Kváziszimmetrikus függvény
- Szimmetrikus függvények gyűrűje
Jegyzetek
- ↑ Van der Waerden, 1979 , p. 121.
Irodalom
- Macdonald IG Szimmetrikus függvények és ortogonális polinomok. New Brunswick, New Jersey. Egyetemi előadássorozat, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
- Macdonald IG Szimmetrikus függvények és Hall-polinomok. második kiadás. Oxfordi matematikai monográfiák. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1. kiadás (határozatlan idejű) . – 1979.
- McDonald I. Szimmetrikus függvények és Hall-polinomok. -Mir, 1984. - 224 p.
- David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetric Function and Allied Tables. – Cambridge University Press , 1966.
- Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Kombinatorika: A Rota út. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 p. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Szimmetrikus függvények, 1. o. 222–225.
— §5.7. Szimmetrikus függvények véges mezők felett, p. 259–270.
- Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : "Nauka", 1979.
- 33. §. Szimmetrikus függvények, p. 121.