Szimmetrikus funkció

Az n változóból álló szimmetrikus függvény olyan függvény, amelynek értéke az argumentum bármely n - es sorában megegyezik ennek az n -es sor bármely permutációjának értékével [1] . Ha például , a függvény lehet szimmetrikus minden változóra vagy párra , vagy . Bár utalhat bármely olyan függvényre, amelyhez n argumentum ugyanazt a tartományt tartalmazza, leggyakrabban polinomokra vonatkozik , amelyek ebben az esetben szimmetrikus polinomok . A polinomokon kívül a szimmetrikus függvények elmélete szegényes és kevéssé használt. Emellett általában nem fontos a változók pontos száma, úgy gondolják, hogy egyszerűen elég sok van belőlük. Az elképzelés szigorúbbá tétele érdekében a projektív határértéket az úgynevezett szimmetrikus függvények gyűrűjére használjuk , amely formálisan végtelen számú változót tartalmaz. $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ ${\megjelenítési stílus (x_{2},x_{3})}$ ${\megjelenítési stílus (x_{1},x_{3})}$ $\lambda$

Szimmetrizáció

Tetszőleges n változóból álló f függvény egy Abel-csoportban értékkel (vagyis egy kommutatív művelettel rendelkező csoportban), szimmetrikus függvény állítható elő, ha összeadjuk f értékét az argumentumok összes permutációjával. Hasonlóképpen, az antiszimmetrikus függvény megszerkeszthető az összes páros permutáció összegeként, amelyből kivonjuk az összes páratlan permutáció összegét. Ezek a műveletek természetesen irreverzibilisek, és egy f nem triviális függvény esetén azonos nulla függvényhez vezethetnek . Az egyetlen eset, amikor f visszaállítható, ha a függvény szimmetrizációja és antiszimmetrizációja ismert, az az, amikor n = 2, és az Abel-csoport osztható 2-vel (a megkettőzés inverze). Ebben az esetben f egyenlő a szimmetrizáció és az antiszimmetrizáció összegének felével.

Szimmetrikus függvények gyűrűje

Tekintsük egy szimmetrikus csoport hatását egy polinomgyűrűn n változóban. Változók permutálásával működik. Mint fentebb említettük, a szimmetrikus polinomok pontosan azok, amelyek nem változnak a csoport elemeinek hatására. Így algyűrűt alkotnak: ${\displaystyle S_{n))$ $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{S_{n))

Viszont egy osztályozott gyűrű : $\Lambda _{n}$

{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))

, ahol k fokú homogén szimmetrikus polinomokból , valamint egy nulla polinomból áll.

{\displaystyle \Lambda _{n}^{k))

Ezután a projektív határérték segítségével definiáljuk a k fokú szimmetrikus függvények gyűrűjét :

{\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k))

Végül kapunk egy fokozatos gyűrűt , amelyet szimmetrikus függvények gyűrűjének nevezünk. ${\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))$

Megjegyzések.

$\lambda$ nem projektív határérték (a gyűrűk kategóriájában). Például egy végtelen szorzat nem szerepel benne , mert tetszőlegesen nagyfokú monomokat tartalmaz. ${\displaystyle \Lambda _{k))$ $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ $\lambda$
A "determináns"-nak szintén nincs megfelelője a -ban . ${\displaystyle (\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2))$ $\lambda$

Alapok a szimmetrikus függvények terében

Monomiális alap. Minden partícióhoz definiálunk egy monomot, amely nem szimmetrikus polinom, és csak véges számú változót tartalmaz, amelyek nem nulla fokozattal lépnek be. Most összegezzük a belőle kapott monomokat az indexek összes lehetséges permutációjával (minden monomot csak egyszer összegzünk, még akkor is, ha több különböző permutációval is megkaphatjuk): . Könnyű megérteni, hogy azok, amelyek alapot képeznek , és ezért mindegyik alapot képez , amelyet monomiálisnak neveznek. $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\pontok )$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ ${\displaystyle x_{\alpha }^{\lambda ))$ $\alpha$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $|\lambda |=n$ ${\displaystyle \Lambda ^{n))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $\lambda$

Elemi szimmetrikus függvények. Minden egész számhoz megadjuk — r különböző változóból származó összes lehetséges szorzat összegét . Így a következőhöz: $r\geq 0$ ${\displaystyle e_{r))$ $e_{0}=1$ $r\geq 1$

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\pontok x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

Minden partíció elemi szimmetrikus függvénye a Térbeli bázist alkotnak .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots

\lambda

Teljes szimmetrikus függvények. Minden egész számra meghatározzuk — az összes r fokú monomiális függvény összegét . Így a következőhöz: $r\geq 0$ ${\displaystyle h_{r))$ $h_{0}=1$ $r\geq 1$

{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Továbbá, mint az elemi függvények esetében, beállítjuk

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots

Erőösszegek. Mindegyik esetében a hatványösszeg ún . $r\geq 1$ ${\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))$

A particionáláshoz a teljesítményösszeg a következőképpen van meghatározva $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots$

Identitások.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , minden k > 0 esetén
${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki))$ , minden k > 0 esetén
${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki))$ , minden k > 0 esetén .

Relációk a függvények generálásához.

Ezt könnyű megmutatni $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

Is $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

Ebből következik az összefüggés $H(t)E(-t)=1$

Végül, . $P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Hasonlóan kapunk . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Schur függvények . Legyen véges számú változóés olyan partíció, hogy(a partíció hossza nem haladja meg a változók számát). Ekkor egy n változóspartíció Schur-polinomjaegy homogén fokú szimmetrikus polinom. A-nál ezek a polinomok egyetlen elemhez konvergálnak, amelyet Schur partíciós függvénynek neveznek. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n))$ $\lambda$ $l(\lambda )\leq n$ $\lambda$ $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ $|\lambda |$ $n\jobbra \infty$ $s_{\lambda }\in \Lambda$ $\lambda$

Jack funkciói . Egy speciális skaláris szorzat bevezetésévela Schur-függvények általánosításra kerültek, megőrizve számos tulajdonságukat. $\lambda$

Alkalmazások

U-statisztika

A statisztikában egy n -mintás statisztika ( n változó függvénye), amelyet úgy kapunk, hogy bootstrap szimmetrizált egy statisztikát egy k elemből álló mintán, n változóból álló szimmetrikus függvényt ad , amelyet U-statisztika -nek nevezünk . Ilyen például a minta átlaga és a minta varianciája .

Lásd még

Elemi szimmetrikus polinomok
Kváziszimmetrikus függvény
Szimmetrikus függvények gyűrűje

Jegyzetek

↑ Van der Waerden, 1979 , p. 121.

Irodalom

Macdonald IG Szimmetrikus függvények és ortogonális polinomok. New Brunswick, New Jersey. Egyetemi előadássorozat, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
Macdonald IG Szimmetrikus függvények és Hall-polinomok. második kiadás. Oxfordi matematikai monográfiák. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1. kiadás (határozatlan idejű) . – 1979.
McDonald I. Szimmetrikus függvények és Hall-polinomok. -Mir, 1984. - 224 p.
David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetric Function and Allied Tables. – Cambridge University Press , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Kombinatorika: A Rota út. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 p. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Szimmetrikus függvények, 1. o. 222–225.
— §5.7. Szimmetrikus függvények véges mezők felett, p. 259–270.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : "Nauka", 1979.
- 33. §. Szimmetrikus függvények, p. 121.