Schur polinomok

A Schur -polinomok speciális alakú, I. Schur nevéhez fűződő változókban lévő szimmetrikus polinomok , amelyeket nem negatív egész számok rendezetlen tagok összegére történő felosztása vagy – ami ugyanaz – legfeljebb oszlopból álló Young diagramok paraméterezve. A Newton-féle elemi szimmetrikus polinomokban polinomként való hozzárendelésük együtthatói a szimmetrikus csoport megfelelő reprezentációinak karaktereinek értékéhez kapcsolódnak . $n$ $n$ $n$ $S_{n}$

Formális definíció

A partíciónak megfelelő Schur-polinom : [1] $\lambda ,$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj})_{i, j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}.

Vannak olyan képletek is, amelyek a Schur-polinomokat elemi szimmetrikus polinomok és teljes szimmetrikus polinomok formájában fejezik ki : ${\displaystyle e_{r))$ ${\displaystyle h_{r))$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda _{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n }

, hol ,

n\geq l(\lambda )

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq m}

, ahol a partíció konjugáltja a -hoz , és szintén .

\lambda '

\lambda

m\geq l(\lambda ')

Különösen és . $s_{(n)}=h_{n}$ $s_{(1^{n})}=e_{n}$

Kapcsolat a szimmetrikus csoport reprezentációival

A Young-diagramnak megfelelő Schur-polinomot Newton elemi szimmetrikus polinomjaiban fejezzük ki, karakterértékekkel kifejezett együtthatókkal , amelyek megfelelnek a szimmetrikus csoport reprezentációjának . Ugyanis, $s_{\lambda}(x_1,\pontok,x_n)$ $\lambda=(\lambda_1,\pontok,\lambda_n)$ $p_k(x_1,\pontok,x_n)=\sum_j x_j^k$ $\chi_{\lambda}$ $\lambda$ $S_{n}$

s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p ^{r_k}_k}{r_k!},

ahol a jelölés azt jelenti, hogy a konjugáltsági osztályban a helyettesítés diszjunkt ciklusokká való kiterjesztésében hosszúságú ciklusok vannak . $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\pontok)$ $\rho$ $r_j$ $j$

Linkek

↑ A. Okounkov, G. Olshansky, "Shifted Schur functions ", Algebra i Analiz , 9 :2 (1997), 73-146