Steiner szimmetrizáció

A Steiner-szimmetrizáció egy bizonyos típusú konstrukció, amely egy tetszőleges alakzatot társít egy tükörszimmetriájú alakhoz. Ezt a konstrukciót alkalmazzák a Jakob Steiner által 1838-ban javasolt izoperimetriai probléma megoldására.

A Steiner-szimmetrizáció alapján további szimmetrizációkat szerkesztettek meg, amelyeket hasonló feladatokban alkalmaznak.

Definíció

Legyen egy hipersík és legyen egy adott ábra -ben . $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Phi$ $\mathbb {R} ^{n}$

Vezessünk be egy ortogonális koordináta-rendszert, amelyet az egyenlet ír le . Jelölje minden pontra az átmenő merőleges és a halmaz metszéspontjának hosszát . Ezután húzunk át egy hosszúságú szegmensen, amelynek felezőpontja a , merőleges -ra . Az ilyen szegmensek uniója a Steiner-szimmetrizáció a -hoz képest . $H$ $x_{n}=0$ $x\in H$ $\ell _{x}$ $H$ $x$ $\Phi$ $x$ $\ell _{x}$ $x$ $H$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $H$

Tulajdonságok

A hangerő megegyezik a hangerővel . $\Phi ^{*}$ $\Phi$

A felület nem haladja meg a felületet . $\Phi ^{*}$ $\Phi$
- Ha konvex test, akkor a felületek egyenlősége és csak akkor érhető el, ha tükörszimmetrikus a szimmetria síkjával párhuzamos hipersíkhoz képest. $\Phi$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $\Phi$
- Általános esetben nem csak a tükörszimmetrikusoknál érhető el egyenlőség, például két, a közvetlen szimmetrizációval párhuzamos alapokkal rendelkező téglalapból álló síkfigurák esetében érhető el egyenlőség. $\Phi$

Ha konvex, akkor ugyanez igaz a -ra is . $\Phi$ $\Phi ^{*}$

A Steiner-szimmetrizáció nem növeli az ábrák közötti Hausdorff-távolságot , azaz $d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),$

ahol és tetszőleges alakzatok, és ezek szimmetrizációi ugyanahhoz a hipersíkhoz képest, és a Hausdorff-metrika .

\Phi

\psi

\Phi ^{*}

\Psi ^{*}

d_{H}

Ha , akkor . $\Phi \subset \Psi$ $\Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}$

Változatok és általánosítások

Polya szimmetrizációja (kör alakú).
Az axiális szimmetrizáció hasonló a Steiner-szimmetrizációhoz, de egy adott egyenes körüli elforgatások során invariáns alakot ad.

Irodalom

Blaschke . Kör és labda . - M . : Nauka, 1967.