Elválasztható tér
A szeparálható tér (a latin separabilis - separable szóból) egy topológiai tér , amelyben mindenhol megszámlálható sűrű részhalmaz különböztethető meg [1] .
A számításban és a geometriában felmerülő sok tér elválasztható. Az elválasztható tereknek van néhány olyan tulajdonsága, amelyek vonzóak a matematikusok számára, és abból fakadnak, hogy a tér minden elemét egy megszámlálható halmaz elemsorozatának határaként ábrázolják, ahogyan bármely valós szám ábrázolható egy sorozat határértékeként. racionális számok .
Sok tétel csak elválasztható terekre bizonyítható konstruktívan . Tipikus példa egy ilyen tételre a Hahn-Banach tétel , amely szeparálható terek esetén konstruktívan igazolható, de egyébként a választás axiómáját használja ennek bizonyítására .
Tulajdonságok
- A szétválasztható tér folyamatos képe szeparálható.
- Egy elválasztható tér minden nyitott topológiai altere szeparálható.
- Legfeljebb az elválasztható terek megszámlálható szorzata szeparálható. (Sőt, tetszőleges számú elválasztható szóköz szorzata már nem szükséges, hogy elválasztható legyen).
- Az összes valós értékű folytonos függvény halmaza egy elválasztható téren legfeljebb a kontinuum sokaságával rendelkezik (mivel a folytonos függvényt egy sűrű részhalmaz értékei egyedileg határozzák meg).
- A szeparálhatóság metrikus tér esetén egyenértékű a topológia megszámlálható bázisával. Egy kompakt metrikus tér elválasztható.
- Ha egy metrikus tér megszámlálhatatlan számú elemet tartalmaz, amelyek páronkénti távolsága nagyobb, mint valamilyen pozitív állandó, akkor a tér nem szeparálható.
Példák
- Egy diszkrét topológiai tér akkor és csak akkor szeparálható, ha legfeljebb megszámlálható.
- A valós számok tere szétválasztható: itt a racionális számok mindenhol megszámlálható sűrű halmaz . Általánosabban a és a terek elválaszthatók.
- A folytonos függvények tere egy szegmensen az egyenletes konvergencia metrikájával (azaz a térrel ) szeparálható. A Weierstrass-közelítési tétel szerint az ugyanazon az intervallumon lévő racionális együtthatójú polinomok tere a mindenütt megszámlálható sűrű altér. A Banach-Mazur tétel kimondja, hogy bármely elválasztható Banach-tér izomorf valamilyen zárt altérrel .
- Egy Hilbert-tér akkor és csak akkor szeparálható, ha van megszámlálható ortonormális alapja .
- A tér nem szeparálható, mivel egy megszámlálhatatlan halmazt tartalmaz, amelynek páronkénti távolsága eggyel egyenlő (az összes nullák és egyesek sorozata).
- A Hölder terek nem választhatók szét. [2]
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![C[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160d783783c799aae07cf78d250747461af0ff9)
Jegyzetek
- ↑ J. Kelly Általános topológia. - M .: Nauka, 1968 - 75. o
- ↑ Folyamatos függvények terei tört simasági indexszel. . Letöltve: 2013. március 26. Az eredetiből archiválva : 2017. március 23.