Egyfajta változatosság

A fajtanemzetség a zárt fajták kobordizmusgyűrűjének homomorfizmusa valamilyen gyűrűvé , általában a racionális számok gyűrűjévé .

Definíció

A φ nemzetség mindegyik X fajtához választ egy φ( X ) elemet valamelyik K gyűrűből úgy, hogy

φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (ahol ∪ egy diszjunkt unió )
φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
φ( X ) = 0, ha X koboráns nullával.

Ebben az esetben a szóban forgó elosztók felszerelhetők további szerkezettel, például orientációval vagy spinor szerkezettel.

A K gyűrű általában a racionális számok mezője, de figyelembe vesszük a moduláris alakok gyűrűjét is . $\mathbb{Z } _{2}$

A φ-re vonatkozó feltételek újrafogalmazhatók úgy, hogy φ a sokaságok kobordizmusgyűrűjének homomorfizmusa (figyelembe véve a szerkezetet) egy másik gyűrűvé.

A formális hatványsorok nemzetsége

A K 1 , K 2 ,... polinomok sorozatát p 1 , p 2 ... változókban multiplikatívnak ha

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_ {1}z+r_{2}z^{2}+\lpontok )

kellene

\sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_ {2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.

Ha Q(z) formális hatványsor z - ben 1 metszetponttal, akkor definiálhatunk multiplikatív sorozatokat

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2 })+\lpontok

hogyan

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,

ahol p k a k - edik elemi szimmetrikus függvény ismeretlenekkel . $z_{i}$

A Q teljesítménysornak megfelelő orientált sokaságok φ nemzetségét a következőképpen határozzuk meg

\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

ahol p k az X k - edik Pontrjagin osztálya . Ebben az esetben a Q hatványsort a φ nemzetség karakterisztikus sorozatának nevezzük .

Példák

L-nemzetség és aláírás

Az L-nemzetséget a karakterisztikus sorozat határozza meg

{{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^ {k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\lpont

hol vannak a Bernoulli-számok . Az első néhány érték: $B_{{2k}}$

$L_{0}=1$
$L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$
$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$
$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$
$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2} p_{2}-3p_{1}^{4})$ [1] [2]

Ha M egy zárt, sima orientált 4n dimenziójú sokaság Pontrjagin osztályokkal , akkor az L-nemzetség értéke az alaposztályon megegyezik az aláírással , azaz $p_{i}=p_{i}(M)$ $[M]$ $\sigma (M)$

\sigma (M)=L_{n}([M])

Azt a tényt, hogy L 2 mindig egész szám a sima elosztóknál, John Milnor felhasználta egy darabonként lineáris, sima szerkezet nélküli 8 dimenziós elosztó létezésének bizonyítására.

Â-nemzetség

Az Â-nemzetséget a karakterisztikus sorozat határozza meg

Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/ 5760-\lpont .

Az első néhány érték

${\hat {A}}_{0}=1$
${\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$
${\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$
${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$
${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}- 904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$

Tulajdonságok

A spinor sokaság Â-nemzete egy egész szám,
- A dimenziós spinorsokaság Â-nemzete páros egész szám. $4{\pmod {8}}$
A spinor-elosztó Â-nemzete megegyezik a Dirac operátor indexével .
Ha egy kompakt spinor-elosztó pozitív skaláris görbülettel rendelkezik , akkor Â-nemzete nulla.

Lásd még

Atiyah-Singer index tétel

Jegyzetek

↑ McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials" Archiválva : 2016. március 5. a Wayback Machine -nél .
↑ OEIS szekvencia A237111 . _

Linkek

Friedrich Hirzebruch Topológiai módszerek az algebrai geometriában ISBN 3-540-58663-6
Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung elosztók és moduláris formák ISBN 3-528-06414-5
Milnor, Stasheff, Jellegzetes osztályok , ISBN 0-691-08122-0
A. F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin class" (nem elérhető link) , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), "Elliptikus nemzetségek" (nem elérhető link) , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4