Pfaffian

A ferde-szimmetrikus mátrix Pfaffiánja egy olyan polinom az elemeiben, amelynek négyzete egyenlő ennek a mátrixnak a determinánsával . A determinánshoz hasonlóan a Pfaffian csak a méretű ferde-szimmetrikus mátrixok esetében nem nulla , ebben az esetben a foka n . $2n\x 2n$

Példák

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0 \\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\ 0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

Definíció

Legyen egy halmaz összes partíciójának halmazát rendezetlen párokba (összesen vannak ilyen partíciók). A felosztás írható $\Pi$ $\{1,2,\pontok ,2n\}$ $(2n-1)!!$ $\alpha \in \Pi$

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

hol és . Hadd $i_{k}<j_{k}$ $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{{n}}\end{bmatrix}}

jelöli a megfelelő permutációt , és a permutáció előjele . Könnyen belátható, hogy nem a választástól függ . ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$ ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$

Jelöljön egy ferde -szimmetrikus mátrixot. A particionáláshoz definiáljuk $A=\{a_{{ij}}\}$ $2n\x 2n$ $\alpha$

A_{\alpha }=\operátornév {sgn}(\alpha )a_{{i_{1},j_{1}}}a_{{i_{2},j_{2}}}\cdots a_{{i_{ n},j_{n}}}.

Most az A mátrix Pfaffiánját definiálhatjuk így

\operátornév {Pf}(A)=\sum _{{\alpha \in \Pi }}A_{\alpha }.

Egy ferde-szimmetrikus méretű mátrix Pfaffiánja páratlan n -re definíció szerint nulla. $n\szer n$

Rekurzív definíció

A méretmátrix Pfaffianját 1-nek feltételezzük; Az at méretű ferde-szimmetrikus A mátrix Pfaffiánja rekurzív módon a következőképpen definiálható: $0\times 0$ $2n\x 2n$ $n>0$

\operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (ij )}a_{ij}\operátornév {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

ahol az index tetszőlegesen választható, a Heaviside függvény , az A mátrixot jelöli az i -edik és a j - edik oszlopok és sorok nélkül . $én$ $\theta (ij)$ ${\displaystyle A_{{\hat {\imath )){\hat {\jmath ))))$

Alternatív definíció

Egy ferde-szimmetrikus mátrixhoz vegyünk egy bivektort : $2n\x 2n$ $A=\{a_{{ij}}\}$

\omega =\sum _{{i<j}}a_{{ij}}\;e_{i}\wedge e_{j}.

hol van a standard bázis -ban . Ekkor a Pfaffian a következő egyenlettel adódik: $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{{2n}}\}$ ${\mathbb R}^{{2n))$

{\frac {1}{n!)}}\omega ^{{\wedge n}}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \ ék e_{{2n}},

ahol n példány külső termékét jelöli . $\omega ^{{\wedge n}}$ $\omega$

Tulajdonságok

Ferde -szimmetrikus mátrixhoz és tetszőleges mátrixhoz : $2n\x 2n$ $A$ $2n\x 2n$ $B$

${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

Blokkátlós mátrixhoz

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf} }(A_{2}).

Egy tetszőleges mátrixhoz : $n\szer n$ $M$

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{{n(n-1)/2}}\det M .

Történelem

A "Pfaffian" kifejezést Cayley [1] vezette be, és Johann Friedrich Pfaff német matematikusról nevezték el .

Jegyzetek

↑ A matematika egyes szavainak legkorábbi ismert felhasználásai . Letöltve: 2009. november 29. Az eredetiből archiválva : 2009. március 4.. (határozatlan)

Irodalom

Vyaly M. N. Pfaffians a felsorolási problémákhoz // Nyári iskola "Modern matematika". – 2004.
Lanya M. N. Pfaffians avagy a jelek elhelyezésének művészete ... // Matematikai oktatás . - 2005. - 9. sz .