Az alapfunkciók tere

Az alapfüggvények tere egy olyan struktúra , amelynek segítségével az általánosított függvények tere felépül (a lineáris függvények tere az alapfüggvények terére).

Az általánosított függvények nagy jelentőséggel bírnak a matematikai fizikában , és az alapfüggvények terét használják az általánosított függvények felépítésének alapjául (formálisan ez a megfelelő általánosított függvények területe). A differenciálegyenleteket az ún. gyenge értelem , azaz nem pontszerű egyenlőséget, hanem a megfelelő reguláris lineáris függvények egyenlőségét tekintjük az alapfüggvények megfelelő terén. Lásd Szobolev terek .

Általában a végtelenül differenciálható függvények kompakt támogatású terét (ún. véges függvények) választják az alapfüggvények tereként , amelyen a következő konvergenciát (és így a topológiát ) vezetik be: ${\mathcal {D}}(\Omega )$ $C_{0}^{\infty }(\Omega )$

A sorrend konvergál ahhoz, ha: $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ $u\in {\mathcal {D}}(\Omega )$

A függvények egyenletesen végesek , azaz kompaktak benne és benne . $u_{j}$ $\exists K$ $\Omega$ $\forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K$
$\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ egyenletesen át . $x$

Itt van egy behatárolt terület itt: . $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$

A Fourier-transzformációs kérdésekhez a lassú növekedés általánosított függvényeit használjuk. Számukra a Schwartz-osztályt választották főként – végtelenül simán olyan függvényeken, amelyek minden fokozatnál gyorsabban csökkennek, az összes deriváltjával együtt. A rajta való konvergenciát a következőképpen definiáljuk: a függvények sorozata konvergál az if -hez ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|x|\to \infty$ $|x|^{-k}$ $\phi _{1},\phi _{2},\dots$ $\phi ^{*}$

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi ^{*}(x)

egyenletesen át .

x

A Schwartz-osztály kiválasztását a Fourier-transzformáció megszerkesztéséhez az általánosított függvények terén az határozza meg, hogy a Fourier-transzformáció a Schwartz-osztály automorfizmusa.

Irodalom

V.S. Vladimirov . Általánosított függvények a matematikai fizikában. - szerk. 2. - M .: Nauka , 1979 . — 320 s.

Az alapfunkciók tere

Irodalom

Lásd még