Wolstenholme prímszám

A számelméletben a Wolstenholm -prím bármely olyan prímszám , amely kielégíti a Wolstenholm-tételből származó erős összehasonlítást . Ebben az esetben a Wolstenholm-tételből származó eredeti összehasonlítást a 2 és 3 kivételével minden prím teljesíti. A Wolstenholm-prímek Joseph Wolstenholm matematikusról kaptak nevet , aki először bizonyította a tételt a 19. században.

E prímszámok iránti érdeklődés a Fermat-féle utolsó tétellel való kapcsolatuk miatt kelt fel .

Csak két wolstenholmi prím ismert, ezek az 16843 és a 2124679 ( A088164 sorozat az OEIS -ben ). Nincs más 10 9 -nél kisebb wolstenholmi prím [1] .

Definíciók

Megoldatlan problémák a matematikában : Vannak-e Wolstenholm-prímek az 16843-on és a 2124679-en kívül?

A Wolstenholme-prímszám többféle ekvivalens módon definiálható.

Binomiális együtthatókon keresztül

A Wolstenholme-prímszám olyan prímszám, amely kielégíti az összehasonlítást

ahol a bal oldali kifejezés a binomiális együtthatót jelöli [2] . Hasonlítsuk össze Wolstenholme tételével , amely kimondja, hogy bármely p  > 3 prím esetén a következő összehasonlítás érvényes:

Bernoulli-számokon keresztül

A wolstenholmi prím egy p prímszám , amely elosztja (maradék nélkül) a Bernoulli-szám B p −3 számlálóját [3] [4] [5] . Így a Wolstenholme-prímek a szabálytalan prímek egy részhalmaza .

Szabálytalan párokon keresztül

A p Wolstenholme-prímszám  olyan prímszám, amelyben ( p , p -3) szabálytalan pár [6] [7] .

Harmonikus számokon keresztül

A p Wolstenholme-prímszám  olyan prímszám, amelyre [8]

vagyis a harmonikus szám számlálója osztható p 3 -mal .

Keresés és aktuális állapot

A wolstenholmi prímek keresése az 1960-as években kezdődött és a mai napig tart. Az utolsó eredményt 2007-ben tették közzé. Az első wolstenholmi 16843-as prímszámot 1964-ben találták meg, bár az eredményt nem tették közzé [9] . Az 1964-es leletet az 1970 -es években egymástól függetlenül megerősítették . Ez a szám maradt az egyetlen ismert példa ilyen számokra csaknem 20 évig, egészen addig, amíg 1993-ban be nem jelentették a második Wolstenholme-prím 2124679 felfedezését [10] . Ekkor 1,2⋅10 7 -ig egyetlen wolstenholmi szám sem került elő, kivéve a két említett [11] . A határt később McIntosh 1995-ben 2⋅10 8 -ra emelte [4] , míg Trevisan és Weber el tudta érni a 2,5⋅10 8 -at [12] . Az utolsó eredményt 2007-ben rögzítették – 1⋅10 9 -ig nem találtak Wolstenholm-prímeket [13] .

Várható összeg

Van egy olyan sejtés, hogy végtelenül sok Wolstenholme-prím van. Azt is feltételezzük, hogy az x-et meg nem haladó Wolstenholme-prímek számának ln ln x nagyságrendűnek kell lennie , ahol ln a természetes logaritmus . Bármely p  ≥ 5 prímszám esetén a Wolstenholm-hányados :

Nyilvánvaló, hogy p akkor és csak akkor Wolstenholme-prím, ha W p  ≡ 0 (mod  p ). Az empirikus megfigyelések alapján feltételezhetjük, hogy a maradék W p modulo p egyenletes eloszlású a {0, 1, ..., p -1} halmazon. Emiatt egy bizonyos maradék (pl. 0) megszerzésének valószínűsége 1/ p körül kell legyen [4] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Wolstenholme príma  a Wolfram MathWorld weboldalán .
  2. ↑ Cook, J. D. Binomiális együtthatók . Hozzáférés dátuma: 2010. december 21. Az eredetiből archiválva : 2013. január 29.
  3. ↑ Clarke és Jones, 2004 , p. 553
  4. ↑ 1 2 3 McIntosh, 1995 , p. 387.
  5. ↑ Zhao, 2008 , p. 25
  6. ↑ Johnson, 1975 , p. 114.
  7. ↑ Buhler et al. (1993) , p. 152.
  8. ↑ Zhao, 2007 , p. tizennyolc.
  9. ↑ Selfridge és Pollack publikálta az első wolstenholmi prímet a Selfridge & Pollack, 1964 , p. 97. (lásd McIntosh és Roettger, 2007 , 2092. o.).
  10. ↑ Ribenboim, 2004 , p. 23.
  11. ↑ Zhao, 2007 , p. 25.
  12. ↑ Trevisan és Weber (2001) , p. 283–284.
  13. ↑ McIntosh és Roettger (2007) , p. 2092.

Irodalom

Linkek