A Lie csoport kapcsolt képviselete

A Lie csoport adjunkt reprezentációja egy Lie csoport lineáris reprezentációja a Lie algebrán . Általában jelölik . $\operatorname {Hirdetés}$

Definíció

Legyen egy Hazugság csoport . A csoport azonosságának érintőtere a Lie algebra . Minden elemnél vegye figyelembe a különbséget $G$ $T_{e}G$ $\mathfrak g$ $a\in G$

{\displaystyle \operatorname {Ad} _{a}=d(\operatorname {Int} _{a})_{e))

belső automorfizmus

\operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.

Az eredményül kapott műveletet csatolt nézetnek nevezzük. $\operatorname {Ad} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g)))$

Jegyzetek

Ha egy lineáris csoport a térben , akkor $G\subset GL(V)$ $V$ $\operatorname {Ad} _{a}X=aXa^{-1},$

Egy csoport adjunkt reprezentációjának differenciálja az azonosságnál a Lie algebrájának adjunkt reprezentációja .

G

Az adjunkt reprezentáció alatti Lie-csoport képét a csoport adjunkt csoportjának nevezzük, és jelöli . $G$ $G$ $\operatorname {Ad} G$

Tulajdonságok

A mag tartalmazza a csoport középpontját . $\operatorname {Ker} \operatorname {Ad}$ $G$
- Sőt, abban az esetben, ha
csatlakoztatva van , és a fő mező karakterisztikája , egybeesik a központtal. $G$ $0$

Egy összefüggő félig egyszerű Lie-csoport akkor és csak akkor izomorf adjunkt csoportjával, ha gyökei egy maximális tórusz racionális karaktereinek csoportját generálják ; egy ilyen csoport központja triviális .

Ha a talajmező karakterisztikája 0, és össze van kötve , akkor a Lie algebra egyedileg határozza meg, és néha a Lie algebra adjunkt csoportjának vagy belső automorfizmusainak csoportjának nevezik .

G

\operatorname {Ad} G

\mathfrak g

\mathfrak g

Különösen, ha

félig egyszerű , akkor egybeesik az azonosság kapcsolt összetevőjével .

G

\operatorname {Ad} G

\operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}

Lásd még

Társképviselet

Irodalom

Vinberg E. B., Onishchik A. L. A hazugságcsoportelmélet alapjai . - M . : VINITI , 1988. - S. 5-101. - (Tudomány és technológia eredményei. Szer. "A matematika modern problémái. Alapvető irányzatok." 20. kötet).