A legkisebb kényszer elve

A legkisebb kényszer elve , vagy a Gauss-elv abból áll, hogy egy rendszer valódi mozgása aktív erők hatására és ideális kényszerek hatására minden időpillanatban eltér az azonos kezdeti konfigurációból származó kinematikailag lehetséges mozgásoktól. és ugyanazokkal a kezdeti sebességekkel, azzal a tulajdonsággal, hogy a valódi mozgáshoz a szabad mozgástól való eltérés mértéke, azaz a kényszer minimális.

A legkisebb kényszer elve a mechanika egyik differenciális variációs elve, és K. F. Gauss javasolta [1] 1829-ben „On a New General Law of Mechanics” című munkájában . Az elv ideális kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszerekre alkalmazható, és Gauss a következőképpen fogalmazta meg: „egy tetszőleges módon összekapcsolt és bármilyen hatásnak kitett anyagi pontrendszer mozgása minden pillanatban a lehető legtökéletesebb módon történik, annak a mozgásnak megfelelően, hogy ezek a pontok, ha mind felszabadultak, azaz a lehető legkisebb kényszerrel jönnek létre, ha egy végtelenül kis pillanat alatt alkalmazott kényszer mértékeként az egyes pontok tömegének szorzatának összegét vesszük az elfoglalt pozíciótól való eltérésének négyzetével, ha szabad lenne" [2] .

Az elv Gauss megfogalmazása nem volt kellően határozott. Ennek az elvnek az analitikus megfogalmazásához nagy jelentőséggel bír G. Scheffler (1820-1903) „A mechanika Gauss-féle alaptörvényéről” 1858-ban megjelent munkája [3] , amelyben Scheffler újradefiniálta [4] a kényszert . mint a következő (modern jelöléssel [5]): ) kifejezés:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \jobbra)^{{2}}

ahol a rendszerben szereplő pontok száma, a pont tömege, a rá ható aktív erők eredője, egy adott pont gyorsulása (valójában Scheffler skaláris jelölési formát használt, ill. nem volt tényezője az összegjel előtt). Ezt követően a függvény minimumának megléte a legkisebb kényszer elvének matematikai kifejezése lett . $N$ $m_{{i}}$ $én$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\mathbf {w}}_{{i}}$ $Z$

Indoklás

Legyen a mechanikai rendszer pillanatnyi tömegű pontja a helyén . Szabad mozgás esetén egy pont nagyon kis intervallumban tesz meg egy távolságot (1. ábra), ahol a pont sebessége az adott időpontban . Ha egy aktív erő hat a pontra, akkor a pont ennek az erőnek a hatására elmozdul . Ha az eltolási vektort időben sorozattá bővítjük, akkor a következőket kapjuk: $m_{{i}}$ $t_{0}$ $M_{i}$ $\tau$ ${\overline {M_{i}A_{i))}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i))$ $t_0$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i))))$

\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}( t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^ {2}+...

{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\ mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}

Ezért ez az elmozdulás kis harmadrendig egyenlő lesz:

{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\ frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}

Ha viszont a pontra kötéseket helyezünk , akkor annak mozgása erő hatására és kötések jelenlétében kis harmadrendig egyenlő lesz: ${\mathbf {F}}_{{i}}$

{\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}

hol van a pont gyorsulása a tényleges mozgásában. Ekkor a pont eltérését a szabad mozgástól a vektor ábrázolja . Ez nyilvánvaló ${\mathbf {w}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i))))$

{\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}} }\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i} }{m_{i}}}\jobbra)

egészen kis harmadrendig. Egy pont szabad mozgástól való eltérésének mértékeként Gauss az eltérés négyzetével arányos értéket vett fel , amelyet kényszernek nevezett . A tömeggel rendelkező pont erejének a következő kifejezése van: ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i))))$ $m_{{i}}$

Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}}\jobbra)^{2}

Összegezve a rendszer összes pontjára vonatkozó kényszereket, a következőt kapjuk:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \jobbra)^{{2}}

A cikk elején megadott definícióból az következik, hogy a tényleges mozgásban lévő gyorsulásokra

\delta \,Z\;=\;0

ráadásul a változást csak gyorsulásokban veszik, míg a koordinátákat és a sebességeket változatlannak tételezzük fel. Az ilyen változatot Gauss-variációnak nevezzük .

A Gauss-elv jelentősége

Az egyik első, aki nagyra értékelte Gauss legkisebb megszorítási elvének fontosságát, a kiváló orosz matematikus és mechanikus , M. V. Ostrogradsky volt , aki különös jelentőséget tulajdonított Gauss kapcsolatmegértési megközelítésének. Osztrogradszkij 1836-ban megjelent „A változó feltételeknek kitett rendszer pillanatnyi elmozdulásairól” című emlékiratában rámutatott a Gauss-elv olyan következményére: a rendszer valódi mozgásában a rendszer pontjairól a csatlakozásokra nehezedő nyomásnak minimálisnak kell lennie. más kinematikailag megvalósítható mozgásokhoz [6] . 1878-ban I. I. Rahmaninov energiaértelmezést adott [7] a Gauss-elvnek, újrafogalmazva a legkevésbé elveszett munka elveként [8] .

J. Bertrand francia matematikus úgy írta le a Gauss-elvet, mint "egy gyönyörű tételt, amely egyszerre tartalmazza az egyensúly és a mozgás általános törvényeit, és nyilvánvalóan a legáltalánosabb és legelegánsabb kifejezés, amit kaptak" [9] .

A legkisebb megszorítás elve igen nagy általánossággal bír, mivel sokféle mechanikai rendszerre alkalmazható: konzervatív és nem konzervatív, holonomikus és nem holonikus rendszerre. Ezért különösen gyakran használják [10] kiindulási pontként a nem holonom rendszerek mozgásegyenleteinek levezetéséhez . Ugyanakkor a Gauss-elvet közvetlenül is alkalmazzák - szilárd testek (különösen manipulációs robotok ) dinamikájának számítógépes szimulációjával kapcsolatos feladatokban ; ebben az esetben a kényszer numerikus minimalizálását a matematikai programozás módszerei végzik [11] .

A Gauss-elvet általánosítják [12] a rendszernek a megszorítások egy részétől való felszabadításának esetére [13] [14] , valamint a nem ideális korlátok által korlátozott rendszerek esetére, valamint a folytonos közegek esetére [ 15] .

Lásd még

Bolotov, Jevgenyij Alekszandrovics

Jegyzetek

↑ Tyulina, 1979 , p. 178.
↑ Gauss K. A mechanika új általános elvéről : Szo. cikkek / Szerk. L. S. Polak. — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 p. - S. 170-172.
↑ Moiseev, 1961 , p. 334.
↑ Tyulina, 1979 , p. 179-180.
↑ Markeev, 1990 , p. 90.
↑ Moiseev, 1961 , p. 336.
↑ Rahmaninov I. I. A legkevésbé elveszett munka kezdete, mint a mechanika általános kezdete // Izv. Kijevi Egyetem . 1878. 4. sz. - S. 1-20.
↑ Markeev, 2000 , p. 38-39.
↑ Pogrebyssky, 1964 , p. 270.
↑ Golubev Yu. F. Az elméleti mechanika alapjai. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 2000. - 719 p. — ISBN 5-211-04244-1 . - S. 427.
↑ Vereshchagin A. F. A Gauss-elv a legkisebb kényszerről a robot-aktorok dinamikájában // Popov E. P. , Vereshchagin A. F., Zenkevich S. L. Manipulation robots: dynamics and algorithms. — M .: Nauka , 1978. — 400 p. - S. 77-102.
↑ Markeev, 2000 , p. 43.
↑ Bolotov E. A. A Gauss-elvről // Izv. Fiz.-Matek. about-va Kazanyban. un-azok. Ser. 2 . 1916. V. 21., 3. sz. - S. 99-152.
↑ Chetaev N. G. A Gauss-elvről // Izv. Fiz.-Matek. about-va Kazanyban. un-azok. Ser. 3 . 1932-1933. T. 6. - S. 68-71.
↑ Rumyantsev V.V. A kontinuummechanika néhány variációs elvéről // Prikl. matematika. és szőrme. 1973. T. 37. szám. 6. - S. 963-973.

Irodalom

A mechanika variációs alapelvei: Szo. cikkek / Szerk. L. S. Polak . — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 p.
Lanczos K. A mechanika variációs elvei . — M .: Mir , 1965. — 408 p.
Markeev A.P. A Gauss-elvről // Tudományos és módszertani cikkek gyűjteménye. Elméleti mechanika. Probléma. 23. - M . : Moszkvai Könyvkiadó. un-ta, 2000. - 264 p. - S. 29-45.
Markeev A.P. Elméleti mechanika. — M .: Nauka , 1990. — 416 p. — ISBN 5-02-014016-3 .
Moiseev N. D. Esszék a mechanika fejlődésének történetéről. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 1961. - 478 p.
Pogrebyssky I. B. Lagrange-től Einsteinig: A 19. század klasszikus mechanikája. — M .: Nauka , 1964. — 327 p.
Tyulina I. A. A mechanika története és módszertana. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 1979. - 282 p.
Tsyganova N. Ya. A legkisebb kényszer elvének fejlődési szakaszai // A természettudományok története és módszertana. - M. : MGU, 1979. - Szám. 9 . - S. 122-134 .