A legkisebb kényszer elve , vagy a Gauss-elv abból áll, hogy egy rendszer valódi mozgása aktív erők hatására és ideális kényszerek hatására minden időpillanatban eltér az azonos kezdeti konfigurációból származó kinematikailag lehetséges mozgásoktól. és ugyanazokkal a kezdeti sebességekkel, azzal a tulajdonsággal, hogy a valódi mozgáshoz a szabad mozgástól való eltérés mértéke, azaz a kényszer minimális.
A legkisebb kényszer elve a mechanika egyik differenciális variációs elve, és K. F. Gauss javasolta [1] 1829-ben „On a New General Law of Mechanics” című munkájában . Az elv ideális kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszerekre alkalmazható, és Gauss a következőképpen fogalmazta meg: „egy tetszőleges módon összekapcsolt és bármilyen hatásnak kitett anyagi pontrendszer mozgása minden pillanatban a lehető legtökéletesebb módon történik, annak a mozgásnak megfelelően, hogy ezek a pontok, ha mind felszabadultak, azaz a lehető legkisebb kényszerrel jönnek létre, ha egy végtelenül kis pillanat alatt alkalmazott kényszer mértékeként az egyes pontok tömegének szorzatának összegét vesszük az elfoglalt pozíciótól való eltérésének négyzetével, ha szabad lenne" [2] .
Az elv Gauss megfogalmazása nem volt kellően határozott. Ennek az elvnek az analitikus megfogalmazásához nagy jelentőséggel bír G. Scheffler (1820-1903) „A mechanika Gauss-féle alaptörvényéről” 1858-ban megjelent munkája [3] , amelyben Scheffler újradefiniálta [4] a kényszert . mint a következő (modern jelöléssel [5]): ) kifejezés:
,ahol a rendszerben szereplő pontok száma, a pont tömege, a rá ható aktív erők eredője, egy adott pont gyorsulása (valójában Scheffler skaláris jelölési formát használt, ill. nem volt tényezője az összegjel előtt). Ezt követően a függvény minimumának megléte a legkisebb kényszer elvének matematikai kifejezése lett .
Legyen a mechanikai rendszer pillanatnyi tömegű pontja a helyén . Szabad mozgás esetén egy pont nagyon kis intervallumban tesz meg egy távolságot (1. ábra), ahol a pont sebessége az adott időpontban . Ha egy aktív erő hat a pontra, akkor a pont ennek az erőnek a hatására elmozdul . Ha az eltolási vektort időben sorozattá bővítjük, akkor a következőket kapjuk:
De
Ezért ez az elmozdulás kis harmadrendig egyenlő lesz:
Ha viszont a pontra kötéseket helyezünk , akkor annak mozgása erő hatására és kötések jelenlétében kis harmadrendig egyenlő lesz:
,hol van a pont gyorsulása a tényleges mozgásában. Ekkor a pont eltérését a szabad mozgástól a vektor ábrázolja . Ez nyilvánvaló
egészen kis harmadrendig. Egy pont szabad mozgástól való eltérésének mértékeként Gauss az eltérés négyzetével arányos értéket vett fel , amelyet kényszernek nevezett . A tömeggel rendelkező pont erejének a következő kifejezése van:
Összegezve a rendszer összes pontjára vonatkozó kényszereket, a következőt kapjuk:
A cikk elején megadott definícióból az következik, hogy a tényleges mozgásban lévő gyorsulásokra
ráadásul a változást csak gyorsulásokban veszik, míg a koordinátákat és a sebességeket változatlannak tételezzük fel. Az ilyen változatot Gauss-variációnak nevezzük .
Az egyik első, aki nagyra értékelte Gauss legkisebb megszorítási elvének fontosságát, a kiváló orosz matematikus és mechanikus , M. V. Ostrogradsky volt , aki különös jelentőséget tulajdonított Gauss kapcsolatmegértési megközelítésének. Osztrogradszkij 1836-ban megjelent „A változó feltételeknek kitett rendszer pillanatnyi elmozdulásairól” című emlékiratában rámutatott a Gauss-elv olyan következményére: a rendszer valódi mozgásában a rendszer pontjairól a csatlakozásokra nehezedő nyomásnak minimálisnak kell lennie. más kinematikailag megvalósítható mozgásokhoz [6] . 1878-ban I. I. Rahmaninov energiaértelmezést adott [7] a Gauss-elvnek, újrafogalmazva a legkevésbé elveszett munka elveként [8] .
J. Bertrand francia matematikus úgy írta le a Gauss-elvet, mint "egy gyönyörű tételt, amely egyszerre tartalmazza az egyensúly és a mozgás általános törvényeit, és nyilvánvalóan a legáltalánosabb és legelegánsabb kifejezés, amit kaptak" [9] .
A legkisebb megszorítás elve igen nagy általánossággal bír, mivel sokféle mechanikai rendszerre alkalmazható: konzervatív és nem konzervatív, holonomikus és nem holonikus rendszerre. Ezért különösen gyakran használják [10] kiindulási pontként a nem holonom rendszerek mozgásegyenleteinek levezetéséhez . Ugyanakkor a Gauss-elvet közvetlenül is alkalmazzák - szilárd testek (különösen manipulációs robotok ) dinamikájának számítógépes szimulációjával kapcsolatos feladatokban ; ebben az esetben a kényszer numerikus minimalizálását a matematikai programozás módszerei végzik [11] .
A Gauss-elvet általánosítják [12] a rendszernek a megszorítások egy részétől való felszabadításának esetére [13] [14] , valamint a nem ideális korlátok által korlátozott rendszerek esetére, valamint a folytonos közegek esetére [ 15] .