Hilbert előtti tér

A Hilbert előtti tér (egyes szerzőknél van euklideszi tér is ) egy valós vagy összetett lineáris tér , amelyen skaláris szorzat van definiálva . Nem feltétlenül teljes , ellentétben a Hilbert-térrel . Széles körben használják a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó tudományágakban.

Definíció

Egy párt pre-Hilbert térnek nevezzük, ha lineáris tér, és a skaláris szorzat határozza meg. (Általában a szokásos értelemben vett belső szorzatot, azaz pozitív határozottt jelenti.) $\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\jobb)$ $x$ $\langle\cdot , \cdot\rangle$ $x$

Norma

A Hilbert előtti tér normalizáltnak tekinthető , mivel a belső szorzat természetes normát generál :

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X

Azokban az esetekben, amikor a skaláris szorzat nem szigorúan pozitív definit, azaz úgy van megválasztva, hogy nulla és nem nulla legyen (amit bizonyos végtelen dimenziós esetekben nehéz elkerülni), akkor a fenti kifejezés nem ad normát, de csak félnorma . $x$

Tulajdonságok

Von Neumann-Yordmann tétel : ha a paralelogramma törvény egy félig normált térben érvényes , akkor az pre-Hilbert, azaz létezik (és ráadásul az egyetlen) skaláris szorzat , amelyre . $(H,\;\|\cdot\|)$ $(H,\;\|\cdot\|)$ $(\cdot ,\cdot )$ $\|x\|=(x,x)^{1/2}$

Példa

A Fourier-sor elméletében széles körben használják az integrálható négyzetes valós függvények Hilbert előtti terét.

L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\, dx < \infty\right.\right\},

ha a pontszorzatot úgy határozzuk meg

\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b ]\nagy).

Az így bevezetett skaláris szorzat nem normát, hanem csak félnormát ad, hacsak nem azonosítunk olyan függvényeket, amelyek csak egy nulla mértékhalmazon különböznek egymástól ( ahogyan az L 2 tér szabványos felépítésénél történik ).

Lásd még

Euklideszi tér

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert tétel 90 Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"