A Hilbert előtti tér (egyes szerzőknél van euklideszi tér is ) egy valós vagy összetett lineáris tér , amelyen skaláris szorzat van definiálva . Nem feltétlenül teljes , ellentétben a Hilbert-térrel . Széles körben használják a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó tudományágakban.
Egy párt pre-Hilbert térnek nevezzük, ha lineáris tér, és a skaláris szorzat határozza meg. (Általában a szokásos értelemben vett belső szorzatot, azaz pozitív határozottt jelenti.)
A Hilbert előtti tér normalizáltnak tekinthető , mivel a belső szorzat természetes normát generál :
.Azokban az esetekben, amikor a skaláris szorzat nem szigorúan pozitív definit, azaz úgy van megválasztva, hogy nulla és nem nulla legyen (amit bizonyos végtelen dimenziós esetekben nehéz elkerülni), akkor a fenti kifejezés nem ad normát, de csak félnorma .
Von Neumann-Yordmann tétel : ha a paralelogramma törvény egy félig normált térben érvényes , akkor az pre-Hilbert, azaz létezik (és ráadásul az egyetlen) skaláris szorzat , amelyre .
A Fourier-sor elméletében széles körben használják az integrálható négyzetes valós függvények Hilbert előtti terét.
ha a pontszorzatot úgy határozzuk meg
Az így bevezetett skaláris szorzat nem normát, hanem csak félnormát ad, hacsak nem azonosítunk olyan függvényeket, amelyek csak egy nulla mértékhalmazon különböznek egymástól ( ahogyan az L 2 tér szabványos felépítésénél történik ).
David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz | |
---|---|
terek | |
axiomatika | Hilbert axiomatikus |
Tételek | |
Üzemeltetők | |
Általános relativitáselmélet | |
Egyéb |