Keynes-Ramsey szabály

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Keynes-Ramsey szabály az optimális fogyasztói magatartás szabálya az intertemporális választás problémájában . A szabály egy adott jövedelemszint, a megtakarítási kamat és a szubjektív diszkontráta esetén a fogyasztás optimális pályáját írja le időben [1] .

A Keynes-Ramsey szabály az optimális fogyasztási szintet két szomszédos időszakra vonatkoztatja. Ezért leírja a fogyasztói magatartás optimális pályáit dinamikus makrogazdasági modellekben.

Matematikai szempontból a Keynes-Ramsey szabály az optimális szabályozási probléma szükséges optimalitási feltétele . Euler-Lagrange egyenletként is ismert [2] .

Történelem

A Keynes-Ramsey-szabály Frank Ramseyről és mentoráról, John Maynard Keynesről kapta a nevét . A szabályt Ramsey kapta meg 1928-ban az optimális megtakarítási modell megoldása eredményeként. Ezt a modellt ezt követően a gazdasági növekedés elméletében fejlesztették ki, és ma Ramsey-Kass-Kopmans modellként ismerik [3] . Keynes segített ennek a szabálynak a közgazdasági értelmezésében:

„A megtakarításnak elegendőnek kell lennie ahhoz, hogy elérjük vagy átmenetileg megközelítsük a telítettségi pontot („boldogpont”), de ez nem jelenti azt, hogy minden bevételünket meg kell takarítanunk. Minél többet spórolunk, annál gyorsabban érjük el a telítettséget, de annál kevesebb örömünk lesz most, így választanunk kell az egyik és a másik között. Mr. Keynes megmutatta nekem, hogy ezekből a megfontolásokból azonnal levezethető az a szabály, amely a szükséges megtakarítási összeget szabályozza .

A modern makroökonómia mikro-alapú modellekkel működik, amelyekben a fogyasztói választás intertemporális problémája hasonló a Ramsey által megfogalmazott problémához. Ez a fő módja a fogyasztói magatartás leírásának, így a Keynes-Ramsey-szabály különféle módosításaiban nélkülözhetetlen elem, amely leírja a modellek dinamikáját.

A szabály matematikai megfogalmazása folytonos időben

A Keynes-Ramsey-szabály a fogyasztás növekedési üteme (egy főre jutó) és az aktuális piaci kamatláb és az intertemporális preferencia együtthatója közötti különbség között a következő összefüggésben fogalmazódik meg:

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )

, ahol az egy főre jutó fogyasztás időbeli deriváltja, az egy főre jutó fogyasztás (folyamatos) növekedési üteme egységnyi idő alatt;

{\pont {c}}

{\frac {\dot {c}}{c}}

{\theta }=-{\frac {u''(c)}{u'(c)))c=-{\frac {MU'(c)}{MU(c)))c= -{\frac {dMU/MU}{dc/c}}

- a határhaszon fogyasztáshoz viszonyított rugalmassága, ellenkező előjellel (az Arrow-Pratt kockázatkerülés relatív mértéke );

r_{t}

- az eszközök megtérülési rátája (az adósság kamatával is egyenlőnek feltételezzük);

\rho

a fogyasztó intertemporális preferencia együtthatója, .

\rho >0,\rho =const

A szabály háttere és levezetése folytonos időben

Mindenekelőtt a modell azt feltételezi, hogy az átlagos egyén maximalizálja a következő formájú intertemporális hasznossági függvényt

U=\int _{0}^{{\infty }}u(c_{t})e^{{-\rho t}}dt

, hol van az egyén fogyasztása pillanatnyilag ; a fogyasztó intertemporális preferencia együtthatója, .

c_{t}

t

\rho

\rho >0,\rho =const

Az intertemporális hasznossági függvény maximalizálása az egyén jövedelméhez kapcsolódó költségvetési korlátok figyelembevételével történik. Az egységnyi időre jutó jövedelem a munkabérből és a vagyonból (megtakarításokból) származó bevételből alakul ki piaci kamatozáson. Ennek megfelelően az időegységre jutó jövedelem mínusz a fogyasztás az egységnyi időre eső eszközök növekedését jelenti. Így a költségvetési korlát az eszközök differenciálegyenletének formája:

{\pont {a}}=r_{t}a_{t}+w-c_{t}

Ebben az esetben az optimalizálási probléma Hamilton-féle egyenlő lesz

H=u(c_{t})e^{-\rho t}+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}+w-c_{t})

A szükséges optimalitási feltételek a következők:

{\partial H \over \partial c_{t}}=e^{-\rho t}u'(c_{t})-\lambda _{t}=0

{\displaystyle {\pont {\lambda _{t))}=-{\partial H \over \partial a_{t))=-\lambda _{t}r_{t))

Az első feltételt úgy ábrázolhatjuk

\ln \lambda _{t}=\ln u'(c_{t})-\rho t

Megkülönböztetve ezt az egyenlőséget az idő függvényében, a következőket kapjuk:

{\pont {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=u''(c_{t})/u''(c_{t}){\pont {c_{t} }}-\rho =-\theta {\pont {c_{t}}}/c_{t}-\rho

Figyelembe véve, hogy a második feltétel szerint: , végül megkapjuk ${\displaystyle {\pont {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=-r_{t))$

{\pont {c_{t))}/c_{t}={1 \over \theta }(r_{t}-\rho )

Ez az eredmény nem fog változni, ha a modellhez hozzáadunk egy állandó népességnövekedési ütemet és (vagy) egy további változót, amelytől a hasznossági függvény függ (általában az egyén „szabadideje” vagy munkaerő-kínálata).

Szabály levezetése diszkrét időben

Két periódusos probléma

A fogyasztó az intertemporális választási problémát úgy oldja meg, hogy a fogyasztás optimális szintjét választja mindkét periódusban egy adott jövedelemszinthez minden időszakban. A fogyasztói célfüggvény így néz ki: $t=1,2$

U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2})\to \max _{C_{1},C_{2))

hol van a hasznossági függvény ; — pillanatnyi (egyperiódusú) hasznossági függvény; - a fogyasztás szintje az első és a második időszakban; — szubjektív diszkonttényező. $U(\cdot )$ $u(\cdot)$ ${\displaystyle C_{1},C_{2))$ $\beta$

A fogyasztó költségvetési korlátja így néz ki:

C_{1}+{\frac {C_{2}}{1+r}}\leq Y_{1}+{\frac {Y_{2}}{1+r}}

hol van a jövedelem szintje az első és a második időszakban; - a megtakarítási kamatláb diszkontrátaként működik . $Y_{1},Y_{2}$ $r$

A problémát a határozatlan Lagrange-szorzók módszere oldja meg . Lagrange függvény egy megszorítással rendelkező probléma esetén:

L=u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda {\Bigg (}C_{1}+{\frac {C_{2)){1+r)) -Y_{1}-{\frac {Y_{2}}{1+r}}{\Bigg )}\to \max _{C_{1},C_{2}}

Elsőrendű optimalitási feltételek (a költségvetési korlát figyelembevétele nélkül):

u'(C_{1})+\lambda =0

\beta u'(C_{2})+\lambda {\frac {1}{1+r))=0

Innen következik a Keynes-Ramsey szabály:

{\frac {u'(C_{1})}{u'(C_{2))}}=\beta (1+r)

Általános eset

A probléma általánosítható egy véges vagy végtelen időhorizont esetére.

U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})\to \max _{C_{t))

\sum _{t=0}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}\leq \sum _{t=0}^{T} {\frac {Y_{t}}{(1+r)^{t}}}

A problémát a határozatlan Lagrange-szorzók módszere oldja meg . Lagrange függvény egy megszorítással rendelkező probléma esetén:

L=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})+\lambda {\Bigg (}\sum _{t=0}^{T} {\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=0}^{T}{\frac {Y_{t}}{(1+r)^ {t}}}{\Bigg )}\to \max _{C_{t}}

Elsőrendű optimalitási feltételek (a költségvetési korlát figyelembevétele nélkül):

\beta ^{t}u'(C_{t})+\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t))}=0,\quad t=0,1,. .,T

A szomszédos időpillanatokra vonatkozó feltételeket elosztva megkapjuk a Keynes-Ramsey szabályt általános formában:

{\frac {u'(C_{t})}{u'(C_{t+1))}}=\beta (1+r)

Lásd még

Jegyzetek

↑ Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley . Makroökonómiai előadások (határozatlan idejű) . - Cambridge: MIT Press , 1989. - 41-43. - ISBN 0-262-02283-4 .
↑ Intriligátor, Michael D. Matematikai optimalizálás és gazdaságelmélet . - Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1971. - P. 308-311 . — ISBN 0-13-561753-7 .
↑ Ramsey, FP A megtakarítás matematikai elmélete // Economic Journal : folyóirat. - 1928. - 1. évf. 38 , sz. 152 . - P. 543-559 .
↑ Ramsey (1928 , 545. o.)