Pontszerű konvergencia

A matematikában egy halmazon lévő függvénysorozat pontszerű konvergenciája a konvergencia olyan fajtája, amelyben az adott halmaz minden pontja a sorozat elemeinek értéksorozatának határához van társítva ugyanabban a pontban.

Az így definiált függvényt az adott sorozat határfüggvényének vagy pontszerű határának nevezzük, és azt mondjuk, hogy az adott sorozat pontonként konvergál a határfüggvényhez.

A konvergencia erősebb formája az egyenletes konvergencia : ha egy funkcionális sorozat egyenletesen konvergál , akkor ez a sorozat is pontszerűen konvergál , de fordítva nem. Ahhoz, hogy egy függvénysorozat pontszerű határa egységes legyen, a Cauchy-kritériumnak teljesülnie kell .

A pontszerű konvergencia fogalma természetesen átvezeti a funkcionális családokat és a funkcionális sorozatokat .

Definíció

Legyen ( ) alakú függvénysorozat, ahol a definíciós tartomány a család összes funkciójára közös. $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f_{n}\colon X\to {\mathbb {R}}$ $n=1,2,\pontok$ $x$

Rögzítsen egy pontot , és vegye figyelembe az űrlap numerikus sorozatát . $x\X-ben$ $\{f_{{n}}(x)\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Ha ennek a sorozatnak van (véges) határa, akkor egy pont társítható ennek a sorozatnak a határához, jelölve azt : $x$ $f(x)$

f(x):=\lim _{{n\to \infty }}f_{n}(x)

Ha figyelembe vesszük a halmaz összes pontját, ahol a megadott határérték létezik, akkor definiálhatjuk a függvényt . $E\X részhalmaz$ $f\colon E\ to {\mathbb {R}}$

Az így definiált függvényt a család függvénysorozatának pontszerű határának nevezzük a halmazon : $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $E$

f_{n}\to f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\to f(x)\quad n\to \infty \jobbra)

míg maga a család állítólag pontonként konvergál egy függvényhez a halmazon . $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f$ $E$

Tulajdonságok

A pontszerű konvergencia fogalma bizonyos szempontból ellentétben áll az egyenletes konvergencia fogalmával . Kimondottan,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=f

egyenletesen

egyenlő azzal

\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.

Ez az állítás erősebb, mint a pontszerű konvergencia állítás: minden egyenletesen konvergens függvénysorozat pontonként ugyanahhoz a határfüggvényhez konvergál, de ennek fordítottja általában nem igaz. Például,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x^{n}=0

pontonként a [0,1 intervallumon), de nem egyenletesen a [0,1 intervallumon).

A folytonos függvénysorozat pontszerű határa nem lehet folytonos függvény, de csak akkor, ha a konvergencia egyidejűleg nem egyenletes. Például a függvény

f(x)=\lim _{{n\jobbra \infty }}\cos(\pi x)^{{2n}}

1 értéket vesz fel, ha x egész szám, és 0 értéket, ha x nem egész szám, ezért nem folytonos egész számok esetén.

Az f n függvény értékeinek nem kell valósnak lenniük, de bármely topológiai térhez tartozhatnak, így a pontszerű konvergencia fogalmának van értelme. Másrészt az egyenletes konvergenciának általában nincs értelme a topológiai terekben értékeket felvevő függvényeknél, de abban az esetben igen, ha a topológiai tér metrikával van ellátva .

Topológia

A pontirányú konvergencia ugyanaz, mint egy szorzat topológiájának konvergenciája az Y X téren . Ha Y kompakt , akkor Tyihonov tétele szerint az Y X tér is kompakt.

Mértékelméletben

A mértékelméletben szinte mindenhol bevezetik a mérhető térben meghatározott mérhető függvénysorozat konvergenciájának fogalmát , ami szinte mindenhol konvergenciát jelent . Egorov tétele kimondja, hogy a pontszerű konvergencia szinte mindenhol egy véges mértékhalmazon egyenletes konvergenciát jelent egy kicsivel kisebb halmazon.

Pontszerű konvergencia

Definíció

Tulajdonságok

Topológia

Mértékelméletben

Lásd még