Potenciális operátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A potenciális operátor olyan matematikai operátor , amely egy valós normált tér nyílt halmazát képezi le a duális térbe , és egy funkcionális gradiense a duális térben lévő tartománnyal.

Definíció

Jelöljön — egy valós normált teret, — annak kettős terét, — egy nyílt halmazt -ból . Egy operátort potenciálisnak nevezünk, ha létezik olyan függvény , hogy . A függvényt az operátor potenciáljának nevezzük [1] . $E$ $E^{*}$ $A$ $E$ $F:A\rightarrow E^{*}$ $x\in A$ $f(x)\in E^{*}$ $F(x)=gradf(x)$ $f(x)$ $F$

Az operátorok potenciálfeltétele

Legyen az operátor Gateaux differenciálható egy konvex nyitott halmaz minden pontjában . Ekkor ha a differenciál minden pontjában folytonos , akkor a benne lévő potenciálhoz szükséges és elegendő, hogy szimmetrikus legyen a [2] pontban . $F:E\rightarrow E^{*}$ $\omega \subset E$ $DF(x,h)$ $x$ $\omega$ $F$ $\omega$ $F$ $\omega$

Magyarázatok

Egy operátort szimmetrikusnak nevezünk egy pontban , ha van egy Gateaux-differenciál a pont valamelyik szomszédságában, és az egyenlőség bármelyikre érvényes . $F:E\rightarrow E^{*}$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $h_{1},h_{2}\in E$ $\langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle$

Nemytsky operátor

A Nemytsky operátort a képlet adja meg , ahol egy valós függvény , szinte minden fixben folytonos és minden fixhez függvényként mérhető , és az egyenlőtlenség $hu=g(u(x),x)$ $g(u,x)$ $u\in [-\infty ,+\infty ]$ $x\B-ben$ $x$ $u$ ${\displaystyle |g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1))$ $p>1$ $a(x)\in L^{p}(B)$ $B$ $s$

A Nemytskii operátor folyamatos potenciális operátor. A Lebesgue tértől a Lebesgue térig hat , ahol és potenciálját a képlet határozza meg , ahol egy tetszőleges szám. $L^{p}(B)$ $L^{q}(B)$ $p^{-1}+q^{-1}=1$ $f$ $f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv$ $f_{0}$

Jegyzetek

↑ 1 2 Weinberg, 1979 , p. 65.
↑ Weinberg, 1979 , p. 66.

Irodalom

Weinberg M. M. Funkcionális elemzés. - M . : Oktatás, 1979. - 128 p.