Csodás sorozat

A matematikában a homogén Beatty -sorozat egész számok sorozata, amelyet a pozitív irracionális számok pozitív többszöröseinek egész részének ("padlónak") figyelembevételével találunk meg . Beatty képsorait Samuel Beattyről nevezték el , aki 1926 -ban írt róluk . Beatty sorozatok is használhatók Sturmi szavak generálására .

A Beatty-szekvencia meghatározása

A Beatty sorozat, amelynek alapja valamilyen pozitív irracionális szám , a következőképpen definiálható:

{\mathcal {B}}_{r}=\lfloor r\rfloor ,\lfloor 2r\rfloor ,\lfloor 3r\rfloor ,\ldots

Ha akkor is pozitív irracionális szám. Ebben az esetben ez a két szám a következő függőséget generálja: . $r>1\,,$ $s=r/(r-1)$ ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1$

Az általuk meghatározott két Beatty-szekvencia, nevezetesen

{\mathcal {B}}_{r}=(\lfloor nr\rfloor )_{n\geq 1}

és

{\mathcal {B}}_{s}=(\lfloor ns\rfloor )_{n\geq 1}

komplementer Beatty-szekvenciák párját alkotják . Itt a "kiegészítő" szó azt jelenti, hogy minden pozitív egész pontosan e két sorozat egyikéhez tartozik.

Példák Beatty-szekvenciákra

Abban az esetben, ha , hol van az aranymetszés , akkor van . Ebben az esetben a sorozat az alsó Wiethoff-sorozat lesz : $r=\varphi$ $\varphi$ $s=r+1$ ${\mathcal {B}}_{r}={\mathcal {\check {W}}}$

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... A000201 sorozat az OEIS -ben .

A komplementer szekvencia a szekvencia - a felső Wythoff-szekvencia : ${\mathcal {B}}_{s}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {W))))$

2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... szekvencia A001950 az OEIS -ben .

Másrészt a számára van . Ebben az esetben a következő sorozatok degenerálódnak: $r={\sqrt {2}}$ $s=2+{\sqrt {2}}$

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... OEIS sorozat A001951 és
3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... szekvencia A001952 az OEIS -ben .

Mert és a sorozatok $r=\pi$ $s={\cfrac {\pi }{\pi -1))$

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... OEIS sorozat A022844 és
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... A054386 sorozat az OEIS -ben .

Az első sorozatból bármely szám hiányzik a másodikból, és fordítva.

Történelem

A Beatty-szekvencia nevét Samuel Beatty 1926-os American Mathematical Monthly című folyóiratában [1] [2] felvetett problémáról kapta . Valószínűleg ez az egyik leggyakrabban idézett kérdés ebben a folyóiratban. Azonban még korábban, 1894-ben John W. Strutt (3. Baron Rayleigh) röviden megemlítette ezeket a képsorokat Theory of Sound című könyvének második kiadásában . [3]

Rayleigh-féle Beatty-féle szekvenciatétel (Beatty-tétel)

A Lord Rayleigh -ről elnevezett Rayleigh-tétel kimondja, hogy a sorozatban nem szereplő pozitív egész számokból álló Beatty-sorozat komplementere maga egy másik irracionális szám által generált Beatty-sorozat. [3]

Mindig létezik olyan, hogy a sorozatok természetes számok halmazaira osztják a halmazt úgy, hogy ennek a halmaznak minden eleme pontosan a két sorozat egyikéhez tartozik. $s>1$ ${\mathcal {B}}_{r},\ {\mathcal {B}}_{s}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+))$ ${\mathcal {N}}_{1}...{\mathcal {N}}_{i}$

Első bizonyíték

Feltéve, hogy hagyjuk . Bizonyítsuk be, hogy ahol "|" operandus a " vagy " operandus . Ezt úgy fogjuk megtenni, hogy figyelembe vesszük az összes tört és , által elfoglalt sorszámú pozíciókat, amelyek nem csökkenő sorrendben vannak felsorolva $r>1\,,$ $s=r/(r-1)$ $\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}:x\ {\overset {!}{\in }}\ {\mathcal {B}}_{r|s}$ ${\frac {j}{r))$ ${\frac {k}{s))$ ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} ^{+))$

Ha látni szeretné, hogy két szám nem foglalhat el ugyanazt a helyet (egy számként), tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, , akkor törtek , de ugyanakkor , és ez a tört nem tartozik az egész számok halmazába. Ezért nincs két szám ugyanazon a helyen. $\exists j,k\in \mathbb {Z} ^{+}:{\frac {j}{r}}={\frac {k}{s}}$ ${\frac {r}{s}}={\frac {j}{k}}\in \mathbb {Z}$ ${\frac {r}{s}}=r(1-{\frac {1}{r}})=r-1$

Bármely törthez pontosan vannak számok és pontosan számok , így a tört pozíciója az eredeti tömbben a következő lesz . Az egyenlet a következő lesz: ${\frac {j}{r))$ $j$ ${\frac {i}{r}}\leq {\frac {j}{r}}$ $\lfloor js/r\rfloor$ ${\frac {k}{s}}\leq {\frac {j}{r}}$ ${\frac {j}{r))$ $j+\lfloor js/r\rfloor$ ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1$

j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor .

Hasonlóképpen, a tört pozíciója a tömbben . $k/s$ $\lfloor kr\rfloor$

Következtetés: minden pozitív egész szám (vagyis a lista minden pozíciója) vagy alakú , de nem mindkettő egyszerre. Ennek a fordítottja is igaz: ha , így minden pozitív egész pontosan egyszer fordul elő a fenti listában, akkor . $\lfloor nr\rfloor$ $\lfloor ns\rfloor$ $p,q\in \mathbb {R}$ $p,q\in \mathbb {I} ;\ {\frac {1}{p))+{\frac {1}{q))=1$

Általánosítások

Ha egy kicsit változtatunk rajta, akkor a Rayleigh-tétel általánosítható pozitív valós számokra (nem feltétlenül irracionális), valamint negatív egész számokra: ha a pozitív valós számok kielégítik és kielégítik a , akkor a sorozatok egész számok szakaszát alkotják. Például egy zongorabillentyűzet fehér és fekete billentyűi ilyen sorozatokként vannak elosztva a és számára . $r$ $s$ $1/r+1/s=1$ ${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} ))$ ${\displaystyle (\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} ))$ $r=12/7$ $s=12/5$

A Lambek-Moser tétel általánosítja Rayleigh tételét, és bemutatja, hogy egy egész szám függvényből és annak inverz függvényéből definiált sorozatok általánosabb párjainak ugyanaz a tulajdonsága, hogy egész számokat hasítanak.

Ouspensky tétele kimondja, hogy ha a pozitív valós számok, például az összes pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazzák, akkor három vagy több Beatty-sorozat esetén nincs megfelelője a Rayleigh-tételnek. [4] [5] ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n))$ ${\displaystyle (\lfloor k\alpha _{i}\rfloor )_{k,i\geq 1))$ $n\leq 2.$

Hivatkozások

↑ Beatty, Samuel;. 3173. feladat // American Mathematical Monthly : folyóirat . - 1926. - évf. 33 , sz. 3 . - 159. o . - doi : 10.2307/2300153 .
↑ S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken. Megoldások a 3173-as feladatra // American Mathematical Monthly : folyóirat . - 1927. - 1. évf. 34 , sz. 3 . - 159-160 . o . - doi : 10.2307/2298716 . — .
↑ 1 2 John William Strutt, 3. Rayleigh báró . A hang elmélete . — Másodszor. - Macmillan, 1894. - T. 1. - S. 123.
↑ JV Uspensky, Egy bizonyos játék elméletéből fakadó problémáról, Amer. Math. Monthly 34 (1927), pp. 516–521.
↑ R. L. Graham, Uspensky tételéről , Amer. Math. Monthly 70 (1963), pp. 407–409.

További olvasnivalók

Holshouser, Arthur; Reiter, Harold. A Beatty-tétel általánosítása // Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2001. - T. 2 . - S. 24-29 . Az eredetiből archiválva : 2014. április 19.
Stolarsky, Kenneth. Beatty sorozatok, folyamatos törtek és bizonyos shift operátorok // Canadian Mathematical Bulletin : folyóirat. - 1976. - 1. évf. 19 , sz. 4 . - P. 473-482 . - doi : 10.4153/CMB-1976-071-6 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Beatty Sequence (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Alexander Bogomolny, Beatty Sequences , Cut-the-knot