Félrács

A félháló ( angol. semilattice , a félstruktúra kifejezést is használták az 1960 -as évekig ) az általános algebrában egy olyan félcsoport , amelyben a bináris művelet kommutatív és idempotens .

A rendelmélet szempontjából a félrács egy részlegesen rendezett halmazként definiálható, amelynek minden egyes elempárjához definiálunk egy legjobb felső korlátot ( felső félrács ) vagy infimumát ( alsó félrács ). Az a halmaz, amely felső és alsó félrács is egyben, rács .

Algebrai meghatározások

A félrács axiomatizált algebra , amely a következő azonosságokkal rendelkező bináris művelettel van felszerelve : $\langle V,\star \rangle$

$x\star x=x$ ( idempotencia );
$(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$ ( asszociativitás );
$x\star y=y\star x$ ( kommutativitás ).

Ha az és az algebrák félrácsok, és műveleteiket relációk kötik össze (úgynevezett abszorpciós törvények ): $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$

$x\vee (x\wedge y)=x$ ,
$x\wedge (x\vee y)=x$ ,

akkor az algebra egy rács . Ebben az összefüggésben felső félrácsnak , az alsónak pedig . A felső félrácsokban egy felső elemet vezetünk be úgy, hogy az összes elemhez , az alsó félrácsokban egy alsó elemet úgy, hogy az ilyen elemeket tartalmazó félrácsokat korlátosnak nevezzük. $\langle V,\vee ,\wedge \rangle$ $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$ $\top \in V$ $\top \vee x=\top$ $x \ V-ben$ $\bot \in V$ $\bot \wedge x=\bot$

Részleges rendelés

Egy algebrailag definiált félrácsban egy részleges sorrend a következőképpen vezethető be: akkor és csak akkor, ha . Mivel a félrácsban egy bináris művelet idempotens , kommutatív és asszociatív, az így meghatározott sorrend reflexív ( ), antiszimmetrikus ( és tranzitív ( ). ${\megjelenítési stílus (V,\ék )}$ $x\sqsubseteq y$ $x\wedge y=x$ $x\sqsubseteq x$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq x)\Jobbra (x=y)$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq z)\Jobbra (x\sqsubseteq z)$

Jegyzetek

Irodalom

Saliy V. N., Skornyakov L. A. . V. fejezet Rácsok // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Tudomány , 1991. - T. 2. - S. 192-294. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Davey, B. A.; Priestley, H. A. Bevezetés a rácsokba és a rendbe . — második. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-78451-4 .
Vickers, Steven Topológialogikán keresztül . -Cambridge University Press, 1989. -ISBN 0-521-36062-5.

Linkek

Jipsen algebra struktúrái oldal: Félrácsok.