Seminorm

A félnorma vagy előnorma a norma fogalmának általánosítása ; ez utóbbival ellentétben a félnorma eltűnhet a tér nullától eltérő elemein.

Definíció

A szeminorma egy nemnegatív függvény a valós vagy komplex számok mezője feletti lineáris térben , amely teljesíti a következő feltételeket: $p\kettőspont L \to\R$ $L$

Abszolút egységesség : bármilyen skalárhoz $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ $\alpha$
Háromszög egyenlőtlenség : mindenkinek $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ $x, y \-ben L$

A teret félnormált térnek nevezzük. ${(L,\;p)}$

Tulajdonságok

$p(0)=0$

Ez a tulajdonság a definíció és egyenlőség első feltételéből következik , itt az első nulla a valós vagy komplex számok mezőjéhez, a második és a harmadik pedig a térhez tartozik :

0_{\R} \cdot 0_L = 0_L

L

p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R

(ahol a linearitásból következik )

0_L = 0_\R\cdot 0_L

L

$p(x)=p(-x)$

Ez a tulajdonság is az első feltételből származik .

\alpha = -1

$p(x) \geqslant 0$

Ha feltételezzük, hogy létezik ilyen , akkor a definíció első feltételéből következik, hogy és . A második feltétel felhasználásával ellentmondást kapunk az első tulajdonsággal.

x^{*}

p(x^*) < 0

p(-x^*) < 0

p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0

Irodalom

Rudin W. Funkcionális elemzés, ford. angolból, - M. , 1975.