Altér

Az altér egy olyan fogalom , amelyet (közvetlenül vagy kifejezésekben) használnak a matematika különböző szakaszaiban.

Az altér valamilyen tér részhalmaza ( affin , vektor , projektív , topológiai , metrikus stb.), amely maga is egy megfelelő típusú tér, amelynek tulajdonságait a környezeti tér indukálja.

Az „alatt” előtag ugyanebben az értelemben más matematikai entitásoknál is használatos, mint például a részgráf , alcsoport , alkategória és így tovább.

Példák

A mező feletti vektoros (lineáris) tér egy nem üres részhalmaza vektor (lineáris) altér, ha két tulajdonság teljesül: bármely vektorra az összeg , valamint bármely vektorra és bármely vektorra . Konkrétan egy altér szükségszerűen tartalmaz egy nulltérvektort (ez egyben nulltérvektor is ). $L'\subset L$ $L$ $F$ $x,y\in L'$ $x+y\in L'$ $x\in L'$ $\alpha \in F$ $\alpha x\in L'$ $L'$ $L$ $L'$

A vektoralteret megfelelő altérnek nevezzük , ha legalább egy nullától eltérő vektort tartalmaz. $L'\subset L$ $L'\neq L$ $L'$

A vektor -alteret lineáris leképezés invariáns alterének nevezzük , ha , azaz bármely vektor esetén . Ha a leképezés sajátértéke , akkor a relációt kielégítő összes vektor (beleértve a nulla vektort is) a leképezés invariáns alterét alkotja . Az adott sajátértéknek megfelelő sajátaltérnek nevezzük . $L'\subset L$ $A:L\to L$ $A(L')\subset L'$ $A(x)\in L'$ $x\in L'$ $\lambda$ $A$ $e\in L$ $A(e)=\lambda e$ $A$ $\lambda$

Az euklideszi vektortér altere egyben euklideszi tér is, de egy pszeudoeuklideszi vektortér altere lehet pszeudoeuklideszi (más aláírású) és euklideszi tér is, és lehet degenerált vagy izotróp is [1] .

A metrikus tér metrikával rendelkező alterének indukált metrikája van, amelyet bármely [2] képlet határoz meg . $M'\subset M$ $M$ $\rho$ $\rho'$ $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ $x,y\in M'$

Egy topológiai tér topológiával rendelkező alterének indukált topológiája van , amelyben a nyílt halmazok azok a halmazok , ahol a topológia összes lehetséges nyitott halmaza [2] . $T'\subset T$ $T$ $\tau$ $\tau '$ $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ ${\displaystyle G_{\tau ))$ $\tau$

Legyen egy projektív tér , amely a vektortér vonalaiból áll , és egy vektor-altér. Ekkor a projektív tér egy projektív altér [3] . $P=P(L)$ $L$ $L'\subset L$ $P'=P(L')\subset P$

Jegyzetek

↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, - Fizmatlit, Moszkva, 2009 (7. fejezet, 7. bekezdés)
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematikai elemzés. — Bármelyik kiadás, 2. kötet, ch. IX.
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, - Bármelyik kiadás, ch. IX, par. egy.