Állandó átlagos görbületű felületek

Állandó átlagos görbületű felületek – a fix nyomáskülönbséggel rendelkező területeket elválasztó szappanfilmek felületeit modellező felületek osztálya . Az adott esetben, ha a nyomás mindkét oldalon egyenlő, a modell meghatározza a minimális felületeket .

Meghatározása szerint sima felületek állandó átlagos görbülettel .

Kutatástörténet

1841-ben Charles-Eugène Delaunay bebizonyította, hogy az egyedüli állandó átlagos görbületű forgásfelületek azok, amelyeket a kúphengerléssel kapott görbék elforgatásával kapunk. Ezek sík, henger, gömb, katenoid , unduloid és nodoid . [egy]

1853-ban J. Gelle kimutatta, hogy ha egy kompakt csillagozott felület B- ben állandó átlagos görbülettel rendelkezik, akkor az szabványos gömb. [2] Ezt követően Alekszandr Danilovics Alekszandrov bebizonyította, hogy egy kompakt beágyazott felületnek állandó átlagos görbülettel gömbnek kell lennie. [3] $S$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $H\neq 0$
- Ennek alapján Heinz Hopf 1956-ban azt javasolta, hogy minden bemerített, kompakt orientálható, állandó β átlagos görbületű hiperfelületnek kerek gömbnek kell lennie. $\mathbb {R} ^{n}$
- Ezt a sejtést 1982-ben Wu-Yi Xiang cáfolta egy ellenpélda segítségével . $\R^4$
- 1984-ben Henry C. Wente megépítette az úgynevezett Wente-tóruszt , amely egy állandó átlagos görbületű tóruszba merült. [négy] $\mathbb {R} ^{3}$

Léteznek módszerek a példahalmaz felépítésére. [5] Különösen a ragasztási módszerek teszik lehetővé az állandó átlagos görbületű felületek tetszőleges kombinálását. [6] [7] [8]

A keverék azt mutatta, hogy nincsenek állandó átlagos görbületű, egymásba ágyazott felületek, amelyek egyik vége a . [9] Korevaar, Kusner és Solomon bebizonyította, hogy a teljes beágyazott felület végei aszimptotikus unduloidok . [tíz] $\mathbb {R} ^{3}$

Alkalmazások

A szappanfilmek mellett az állandó átlagos görbületű felületek gáz-folyadék határfelületként jelennek meg egy szuperhidrofób felületen. [tizenegy]

Az építészetben állandó átlagos görbületű felületeket használnak levegővel alátámasztott szerkezetekben , például felfújható kupolákban és burkolatokban, valamint folyékony szerves formák forrásaként. [12]

Jegyzetek

↑ C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est állandó, J. Math. Pures Appl. 6 (1841), 309-320.
↑ JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl. 18 (1853), 163-167
↑ Kr. Alexandrov, Egyediségi tétel felületekre a nagy, V. Vestnik, Leningrádi Egyetem. 13, 19 (1958), 5-8, Amer. Math. szoc. Trans. (2. sorozat) 21, 412-416.
↑ Wente, Henry C. (1986), Ellenpélda H. Hopf sejtésére. , Pacific Journal of Mathematics vol. 121: 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 > Archivált : június 10., a Way Machine
↑ Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan . Egysíkú konstans átlagos görbületi felületek. Comm. Anális. Geom. 15:5 (2008) pp. 985-1023. ArXiv math.DG/0509210.
↑ N. Kapouleas. Teljes állandó átlagos görbületi felületek az euklideszi három térben Archiválva : 2022. január 29., a Wayback Machine , Ann. nak,-nek. Math. (2) 131 (1990), 239-330
↑ Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, Ragasztás és modulok nem kompakt geometriai problémákhoz. 1996. évi arXiv: dg-ga/9601008
↑ I. Sterling és H.C. Wente, Véges és végtelen típusú állandó átlagos görbületű multibuborékok létezése és osztályozása Archiválva : 2019. május 22., a Wayback Machine , Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), no. 4, 1239-1266.
↑ Meeks WH, Az állandó átlagos görbületű beágyazott felületek topológiája és geometriája , J. Diff. Geom. 27, 539-552 (1988).
↑ Korevaar N., Kusner R., Solomon B., A teljes beágyazott felületek szerkezete állandó átlagos görbülettel, J. Diff. Geom. 30, 465-503 (1989)].
↑ EJ Lobaton, T. R. Salamon. Állandó átlagos görbületi felületek számítása: Alkalmazása nyomás alatt álló folyadék gáz-folyadék határfelületére szuperhidrofób felületen. Journal of Colloid and Interface Science. 314. évfolyam, 1. szám, 2007. október 1., 184-198.
↑ Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Többrétegű szabad formájú szerkezetek geometriája építészethez. ACM Tranzakciók a grafikán – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007, 26. kötet, 3. szám, 2007. július Cikkszám. 65