A Monty Hall paradoxon

A Monty Hall paradoxon a valószínűségszámítás  egyik jól ismert problémája, amelynek megoldása első pillantásra ellentmond a józan észnek. Ez a feladat nem paradoxon a szó szűk értelmében, hiszen nem tartalmaz ellentmondást, paradoxonnak nevezzük, mert a megoldása váratlannak tűnhet. Sőt, sokan nehezen tudják meghozni a helyes döntést még azután is, hogy elmondták nekik [1] .

A problémát először [2] [3] (a megoldással együtt) 1975-ben publikálta Steve Selvin , a Kaliforniai Egyetem professzora , a The American Statistician. A Parade magazin 1990-es megjelenése után vált népszerűvé [4] .

Megfogalmazás

A probléma a "Let's Make a Deal" című amerikai televíziós játékon alapuló játék leírásaként van megfogalmazva , és a program házigazdájáról kapta a nevét. A probléma leggyakoribb megfogalmazása, amelyet 1990 -ben tettek közzé a Parade Magazine -ban, a következő:

Képzeld el, hogy egy olyan játék résztvevője lettél, amelyben három ajtó közül kell választanod. Az egyik ajtó mögött egy autó , a másik két ajtó mögött kecskék . Kiválasztod az egyik ajtót, például az 1-es számú ajtót, utána a házigazda, aki tudja, hol van az autó és hol vannak a kecskék, kinyitja az egyik megmaradt ajtót, például a 3-ast, ami mögött egy kecske van. Ezek után megkérdezi – szeretné megváltoztatni a választását és a 2-es számú ajtót választani? Növekszik-e az esélye , hogy autót nyer, ha elfogadja a házigazda ajánlatát és megváltoztatja a választását?

A megjelenés után azonnal kiderült, hogy a probléma rosszul lett megfogalmazva: nem volt minden feltétel kikötve. Például a segítő követheti a „pokoli Monty” stratégiát: akkor és csak akkor ajánlja fel a választás megváltoztatását, ha a játékos az első lépésnél autót választott. Nyilvánvaló, hogy a kezdeti választás megváltoztatása ilyen helyzetben garantált veszteséghez vezet (lásd alább).

A legnépszerűbb a probléma egy további feltétellel [5] – a játék résztvevője előre ismeri a következő szabályokat :

A következő szöveg a Monty Hall problémát tárgyalja ebben a megfogalmazásban.

Elemzés

1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó Eredmény, ha módosítja a kijelölést Eredmény, ha nem módosítja a kijelölést
Auto Kecske Kecske Kecske Auto
Kecske Auto Kecske Auto Kecske
Kecske Kecske Auto Auto Kecske

A nyerő stratégia szempontjából a következő fontos: ha a vezető tettei után megváltoztatod az ajtó választását, akkor nyersz, ha kezdetben a vesztes ajtót választottad. Ez 2 ⁄ 3 valószínűséggel fog megtörténni , mivel kezdetben 3-ból 2 mód van a vesztes ajtó kiválasztására.

De gyakran a probléma megoldása során valami ilyesmivel érvelnek: a házigazda végül mindig eltávolít egy elveszett ajtót, és akkor annak valószínűsége, hogy két nem nyitott ajtó mögé kerüljön egy autó , a kezdeti választástól függetlenül egyenlő lesz ½ . De ez nem igaz: bár valóban két választási lehetőség van, ezek a lehetőségek (a hátteret figyelembe véve) nem egyformán valószínűek. Ez igaz, mert kezdetben minden ajtónak egyenlő esélye volt a győzelemre, de aztán más volt a kiesés valószínűsége.


A legtöbb ember számára ez a következtetés ellentmond a helyzet intuitív felfogásának, és a logikai következtetés és a válasz közötti eltérés miatt, amelyre az intuitív vélemény hajlik, a problémát Monty Hall paradoxonnak nevezik .

Ne feledje, hogy a játékos első ajtóválasztása befolyásolja, hogy Monty melyik két fennmaradó ajtót választja.


Az ajtókkal kapcsolatos helyzet még nyilvánvalóbbá válik, ha elképzeljük, hogy nem 3 ajtó van, hanem mondjuk 1000, és a játékos kiválasztása után a műsorvezető eltávolít 998 pluszt, így 2 ajtó marad: az, amelyet a játékos választott. és még egy. Nyilvánvalóbbnak tűnik, hogy a nyeremény megtalálásának valószínűsége ezek mögött az ajtók mögött eltérő, és nem egyenlő ½ -vel . Ha ajtót cserélünk, akkor csak akkor veszítünk, ha a kezdetektől a nyereményajtót választottuk, aminek a valószínűsége 1:1000. Az ajtóváltáskor nyerünk, ha az eredeti választásunk rossz volt, ennek valószínűsége 1000-ből 999. 3 ajtó esetén a logika megmarad, de a döntés megváltoztatásakor a nyerési valószínűség 2⁄3 , illetve nem 999 ⁄ 1000 .

Az érvelés másik módja az, hogy a feltételt egy egyenértékűre cseréljük. Képzelje el, hogy ahelyett, hogy a játékos választaná ki először (legyen mindig az 1-es számú ajtó), majd kinyitja az ajtót a megmaradt kecskével (vagyis mindig a 2-es és 3-as számok között), a játékosnak ki kell találnia az ajtót. első próbálkozásra, de korábban azt mondták neki, hogy az 1-es számú ajtó mögött kezdeti valószínűséggel (33%) lehet autó, és a fennmaradó ajtók között fel van tüntetve, hogy a kocsiajtók közül melyiknél biztosan nincs autó (0%). Ennek megfelelően az utolsó ajtó mindig 67%-ot tesz ki, és a választási stratégia előnyösebb.

Még inkább vizuális érvelés az, hogy a játékos a játék teljes körülményeinek előre ismeretében (hogy a választás lehetőségét megváltoztatni fogják) és ezekkel a feltételekkel előzetesen egyetértve, a játékos valójában először választ egy ajtót, amely mögött véleménye szerint nincs díj (és 1 ⁄ 3 valószínűséggel hibázhat ). Közvetve ugyanakkor a fennmaradó két ajtóra mutat, amelyek közül az egyiknek szerinte van egy nyeremény, ami 2 ⁄ 3 nyereményre ad esélyt . Ez egy olyan játéknak felel meg, amelyben a facilitátor a legelején egyszer felajánlja a játékosnak, hogy zárjon ki egy "extra" ajtót, és garantáltan kinyitja a maradék kettőt.

Negyedik lehetőség: ha a játékos autót választott (ennek valószínűsége ⅓ ), akkor Monty biztosan felajánl egy váltást, és az egy kecskéhez vezet. És ha a játékos kecskét választott (valószínűség ⅔ ) - akkor az autóhoz. Ezért a posterior valószínűségek ⅓ , ha nem változnak, és ⅔ , ha változnak. És a bal és a jobb oldali ajtó egyformán valószínű nyitása, ha a játékos mégis az autóra mutatott, nem teszi lehetővé az információ kinyerését abból a tényből, hogy a bal vagy a jobb ajtó nyitva van.

Egyéb host viselkedés

A Monty Hall paradoxon klasszikus változata kimondja, hogy a házigazda felszólítja a játékost az ajtó cseréjére, függetlenül attól, hogy az autót választotta-e vagy sem. De lehetséges a gazda összetettebb viselkedése is. Ez a táblázat röviden leír néhány viselkedést. Ellenkező kikötés hiányában a nyeremények egyformán az ajtókon kívül helyezkednek el, az előadó tudja, hol van az autó, és ha van választási lehetőség, akkor egyenlő valószínűséggel választ két kecske közül. Ha a fogadó befolyásolja a valószínűségeket, nem pedig egy merev eljárást követ, akkor a cél az, hogy az autót távol tartsák a tárgytól. A tárgy célja, ill.

Házigazda viselkedése Eredmény
"Infernal Monty": A házigazda felajánlja a változtatást, ha az ajtó megfelelő [4] . ⅔ valószínűséggel nem lesz ajánlat, és a téma a kecskénél marad. ⅓ valószínűséggel  lesz ajánlat, és a változás mindig kecskét ad.
"Angelic Monty": a házigazda felajánlja, hogy átöltözik, ha rossz az ajtó [6] . ⅓ valószínűséggel nem lesz ajánlat, és az alany elviszi az autót. ⅔ valószínűséggel  lesz ajánlat, és a műszak mindig ad egy autót.
„Tudatlan Monty” vagy „Monty Buch”: a házigazda akaratlanul is elesik, kinyílik az ajtó, és kiderül, hogy nincs mögötte autó. Vagyis maga a házigazda nem tudja, mi van az ajtók mögött, teljesen véletlenszerűen nyitja ki az ajtót, és csak véletlenül nem volt mögötte autó [7] [8] [9] . ⅓ valószínűséggel az elesett Monty kinyitja az autót, ami veszteség. ⅔ valószínűséggel ajánlat fog következni, és a változtatás az esetek felében nyer .
Így készül a „Deal or No Deal” amerikai show - azonban a játékos maga nyit ki egy véletlenszerű ajtót, és ha nincs mögötte autó, a műsorvezető felajánlja a cserét.
A házigazda kiválaszt egyet a kecskék közül, és kinyitja, ha a játékos más ajtót választott. ⅓ valószínűséggel nem lesz ajánlat, veszteség. ⅔ valószínűséggel ajánlat fog következni, és a változtatás az esetek felében nyer .
A házigazda mindig kinyitja a kecskét. Ha autót választunk, a bal oldali kecske p valószínűséggel , a jobb oldali kecske pedig q =1− p valószínűséggel nyílik . [8] [9] [10] Ha a vezető kinyitotta a bal oldali ajtót, a váltás valószínűséggel nyer . Ha igaza van - . Az alany azonban nem befolyásolhatja annak valószínűségét, hogy a megfelelő ajtó kinyíljon – választásától függetlenül ez nagy valószínűséggel fog megtörténni .
Ugyanez, p = q = ½ (klasszikus eset). A változás ⅔ valószínűséggel nyer .
Ugyanez, p = 1, q = 0 ("tehetetlen Monty" - egy fáradt műsorvezető áll a bal ajtóban, és kinyitja a közelebbi kecskét). Ha a vezető kinyitotta a megfelelő ajtót (ennek valószínűsége ⅓ ), a változás garantált győzelmet ad. Ha hagyjuk, ami az esetek ⅔ -ában történik , a valószínűség ½ .
A házigazda nem tudja, mi van az ajtók mögött. Kiválaszt egyet a megmaradt két ajtó közül, titokban konzultál egy partnerrel, és felajánlja az átöltözést, ha van kecske. Vagyis mindig kinyitja a kecskét, ha autót választanak, egyébként pedig ½ valószínűséggel. [tizenegy] Hasonló a Monty Buch opcióhoz: ⅓ valószínűséggel a titkos partner azt mondja, hogy van autó, nem lesz ajánlat, veszteség. ⅔ valószínűséggel lesz ajánlat, és a változtatás az esetek felében nyer .
Általános eset: a játék sokszor megismétlődik, az autó egyik vagy másik ajtó mögé rejtőzésének valószínűsége, valamint ennek vagy annak az ajtónak a kinyitása tetszőleges, de a házigazda tudja, hol van az autó, és mindig felajánlja a változtatást az egyik vagy másik ajtó kinyitásával. a kecskéket. [12] [13] Nash-egyensúly : a Monty Hall paradoxona a klasszikus formájában a legelőnyösebb a házigazdának – az autó ⅓ valószínűséggel elbújik bármelyik ajtó mögé ; ha van választási lehetőség, véletlenszerűen nyissa ki bármelyik kecskét. A nyerés valószínűsége ⅔ .
Ugyanaz, de előfordulhat, hogy a házigazda egyáltalán nem nyitja ki az ajtót. Nash-egyensúly : előnyös, ha a fogadó nem nyitja ki az ajtót, a nyerési valószínűség ⅓ .

Opció: The Three Prisoners Challenge

A problémát Martin Gardner vetette fel 1959-ben.

Három foglyot, A-t, B-t és C-t magánzárkába helyeznek, és halálra ítélik. A kormányzó véletlenszerűen kiválaszt egyet közülük, és megkegyelmez neki. A foglyokat őrző őr tudja, ki kapott kegyelmet, de nincs joga ezt kimondani. A fogoly megkéri az őrt, hogy mondja meg annak a (másik) fogolynak a nevét, akit biztosan kivégeznek: „ Ha B kegyelmet kap, mondja meg, hogy C-t kivégzik. Ha C kegyelmet kap, mondja meg, hogy B-t kivégzik. Feldobok egy érmét, és kimondom a B vagy C nevét. "

Az őr közli A foglyal, hogy B foglyot ki fogják végezni. A fogoly örömmel hallja ezt, mert úgy gondolja, hogy most ½ a túlélés valószínűsége , és nem ⅓ , mint korábban. Az A fogoly titokban elmondja C fogolynak, hogy B-t kivégzik. C fogoly is örül ennek hallatán, mivel továbbra is úgy gondolja, hogy A fogoly túlélési valószínűsége ⅓ , túlélési valószínűsége pedig 2⁄3 - ra nőtt . Hogy lehet ez?

Elemzés

Azok, akik ismerik Monty Hall paradoxonát, most már tudják, hogy C-nek igaza van, és A-nak nincs igaza.

Tehát az „Execute B” kifejezés elhagyja az 1. és 4. lehetőséget – vagyis 2⁄3 esélye van annak, hogy C kegyelmet kap, és ⅓ , hogy A.

Az emberek azt hiszik, hogy a valószínűség ½ , mert figyelmen kívül hagyják annak a kérdésnek a lényegét, amelyet A fogoly feltesz az őrnek. Ha az őr válaszolni tudna arra a kérdésre, hogy „Kivégzik-e B foglyot?”, akkor ha a válasz igen, akkor A kivégzésének valószínűsége valóban 2⁄3- ról ½ - re csökkenne .

A kérdést másképpen is meg lehet közelíteni: ha A kegyelmet kap, az őr véletlenszerűen bármelyik nevet kimondja; ha A-t kivégzik, az őr azt mondja, akit A-val együtt kivégeznek. Tehát a kérdés nem ad A-nak további esélyt a kegyelemre.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Voroncov, I. D., Raitsin, A. M. MONTY HALL PARADOX  // TÁVKÖZLÉSI ÉS INFORMÁCIÓS TECHNOLÓGIÁK. - 2015. - 2. sz . - S. 7 . Archiválva az eredetiből 2021. június 15-én.
  2. ↑ Selvin, Steve. Valószínűségi probléma (levél a szerkesztőnek  )  // Amerikai statisztikus : folyóirat. — Vol. 29 , sz. 1 . — 67. o . — .
  3. ↑ Selvin, Steve. A Monty Hall problémáról (levél a szerkesztőnek  )  // Amerikai statisztikus : folyóirat. — Vol. 29 , sz. 3 . — 134. o . — .
  4. ↑ 1 2 Tierney, John (1991. július 21.), Monty Hall ajtói mögött: Rejtvény, vita és válasz? , The New York Times , < https://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 > . Letöltve: 2008. január 18. Archiválva : 2007. november 9. a Wayback Machine -nél 
  5. ↑ A Monty Hall probléma, újragondolva, archiválva 2019. március 8-án a Wayback Machine -nél . Martin Gardner a huszonegyedik században
  6. ↑ Granberg, Donald (1996). „Váltani vagy nem váltani”. Függelék vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking című könyvéhez . Utca. Martin's Press. ISBN 0-312-30463-3 , ( korlátozott online példány  a " Google Könyvekben ").
  7. ↑ Granberg, Donald és Brown, Thad A. (1995). "A Monty Hall dilemma", Személyiség és Szociálpszichológia Bulletin 21 (7): 711-729.
  8. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl   // Math Horizons :magazin. — 2005a. - P. szeptemberi szám, 5-7 . Online reprint, 2008 Archivált : 2010. november 16. a Wayback Machine -nél .
  9. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Villámcsapás: a valószínűségek kíváncsi világa . Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7 .
  10. ↑ Morgan, JP, Chaganty, NR, Dahiya, RC és Doviak, MJ (1991). "Köztessünk alkut: A játékos dilemmája," archiválva : 2016. augusztus 21., a Wayback Machine American Statistician 45 : 284-287 .
  11. ↑ Mueser, Peter R. és Granberg, Donald (1999. május). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" Archiválva : 2013. május 25., a Wayback Machine , University of Missouri Working Paper 99-06. Letöltve: 2010. június 10.
  12. ↑ Gill, Richard (2010) Monty Hall probléma. pp. 858-863, International Encyclopaedia of Statistical Science , Springer, 2010. Eprint [1]
  13. ↑ Gill, Richard (2011) A Monty Hall-probléma nem egy valószínűségi feladvány (ez egy kihívás a matematikai modellezésben). Statistica Neerlandica 65 (1) 58-71, 2011. február. Eprint [2]

Linkek

Irodalom