A fiú-lány paradoxont a valószínűségszámítás fiú-lány paradoxonként, Mr. Smith gyermekeiként és Mrs. Smith problémáiként is ismerik . A probléma először 1959-ben fogalmazódott meg, amikor Martin Gardner ennek a paradoxonnak az egyik legkorábbi változatát publikálta a Scientific Americanban "The Two Children Problem" néven, ahol a következő megfogalmazást adta:
Maga Gardner eleinte 1/2, illetve 1/3 választ adott, de később rájött, hogy a helyzet a második esetben nem egyértelmű. [1] A második kérdésre a válasz 1/2 lehet, attól függően, hogyan derült ki, hogy az egyik gyerek fiú. A probléma konkrét körülményeitől és a feltevésektől függő kétértelműség megerősítést nyert később 1982-ben (Maya Bar-Hillel és Ruma Falk "Néhány előzetes a feltételes valószínűségekről" [2] ) és 2004 májusában (Raymond S. Nickerson "Cognition and Chance" : A valószínűségi érvelés pszichológiája" [3] ). Ennek a paradoxonnak más változatai is megjelentek a közelmúltban, változó mértékű bizonytalansággal[ mi? ] idő népszerűségre tett szert. Például Ask Marilyn a Parade Magazine -ban, [4] John Tierney a The New York Timesban , [5] és Leonard Mlodinow a Drunkard's Walk-ben. [6] Érdekes ennek a paradoxonnak a pszichológiai felfogása is. Egy 2004-es tudományos tanulmány (Craig R. Fox és Jonathan Levav (2004) [7] . "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability") megállapította, hogy az adott bemeneti információ azonos, de eltérő. egy bizonyos nézőpont megválasztására ösztönző probléma, a második kérdésre 1/2-es választ adó MBA hallgatók aránya 85% és 39% között mozog.A paradoxon gyakran sok vitát vált ki.3 Sokan lelkesek . az egyes opciók támogatói válaszolnak, miközben tagadják és néha megvetik az ellenkező nézőpontot.A paradoxon az, hogy az elemzés különböző megközelítései esetén a kívánt valószínűség eltérő. [6] [7] Mindkét kérdésre a legkézenfekvőbb válasz 1/2. [7] Ez a válasz azonban csak akkor nyilvánvaló, ha az egyes kérdésekből az következik, hogy a második gyermek (fiú vagy lány) nemére vonatkozóan két egyformán valószínű kimenetel van [7] [8] és hogy ezeknek az eredményeknek a valószínűsége feltétel nélküli. [9]
Véletlenszerű családot választunk, amely megfelel az első kérdés feltételeinek. Ezután 4 egyformán valószínű kimenetel van.
| idősebb gyerek | Legfiatalabb gyermek |
|---|---|
| Lány | Lány |
| Lány | Fiú |
| Fiú | Fiú |
| Fiú | Lány |
És a lehetséges kimenetelek közül csak 2 felel meg a kérdésben meghatározott kritériumnak (ezek a DD, DM opciók). Tekintettel arra, hogy az új {DD, DM} elemi kimenetelből származó mindkét kimenetel egyformán valószínű, és csak az egyik kimenet tartalmaz két lányt - DD -, annak a valószínűsége, hogy mindkét gyermek lány, 1/2.
A második kérdés hasonló az elsőhöz, de ahelyett, hogy azt mondaná, hogy a legidősebb gyerek fiú, a kérdés azt mondja, hogy a gyerekek közül legalább az egyik fiú. Az olvasók kritikájára válaszolva Gardner egyetért azzal, hogy "a randomizációs eljárás részletes leírásának lehetetlensége miatt" eredeti megfogalmazása kétféleképpen értelmezi a családválasztási módszert:
Nyilvánvaló, hogy minden Mr. Smithnek egy fia van (ez szükséges feltétel), de nem világos, hogy minden Mr. Smithnek, akinek egy fia van, a mi szempontunkba kerül-e. Ebben rejlik a probléma: a nyilatkozat nem mondja ki, hogy a fiúgyermek elégséges feltétele Smith úrnak a "mintába" való felvételéhez. Ugyanakkor Bar-Hillel & Falk [2] Gardner munkáját kommentálva megjegyzi, hogy "Smithné az olvasóval ellentétben természetesen tudja, milyen neműek a gyermekei, amikor állít valamit. És a válaszból kiindulva: " Két gyermekem van, és legalább az egyik fiú" - a helyes válasz szerintük az 1/3 lesz, ahogy Gardner eredetileg javasolta.
Ha feltételezzük, hogy a családot azon elv alapján választják ki, hogy legalább egy fiúgyermeke van, és a fiú jelenlétét elfogadják szükséges és elégséges feltételnek , akkor négyből három egyformán valószínű kimenetel marad egy olyan család számára, két gyermek a fent leírt elemi eredmények halmaza között.
| idősebb gyerek | Legfiatalabb gyermek |
|---|---|
| Lány | Lány |
| Lány | Fiú |
| Fiú | Lány |
| Fiú | Fiú |
Feltételezve, hogy mindkét gyermeket figyelembe veszik egy fiú keresése során, a második kérdésre a válasz 1/3. Ha azonban előbb családot választanak, majd az egyik gyerek nemét ellenőrizték, akkor már nem a megfelelő lehetőségek számbavétele lenne a helyes számítás, hanem minden esetre a feltételes valószínűség kiszámítása.
| idősebb gyerek | Legfiatalabb gyermek | P (ebben az esetben) | P ("a tesztelésről kiderült, hogy fiú") | P (ez az eset, és a "tesztről kiderült, hogy fiú") |
|---|---|---|---|---|
| Lány | Lány | 1/4 | 0 | 0 |
| Lány | Fiú | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Fiú | Lány | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Fiú | Fiú | 1/4 | egy | 1/4 |
A választ a feltételes valószínűség (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2 kiszámításával kapjuk. Vegye figyelembe, hogy egy adott gyermek kiválasztásakor minden kicsit másképp fog történni, és hasonló választ kapunk más számításokkal. Például, ha először megtudjuk a legkisebb gyerek nemét, akkor
| Legidősebb gyermek (nem ismert) | Legfiatalabb gyermek | P (ebben az esetben) | P ("a második gyerek fiú") | P (ez az eset, és "a második gyerek fiú") |
|---|---|---|---|---|
| Lány | Lány | 1/4 | 0 | 0 |
| Lány | Fiú | 1/4 | egy | 1/4 |
| Fiú | Lány | 1/4 | 0 | 0 |
| Fiú | Fiú | 1/4 | egy | 1/4 |
(1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2.
Amióta Gardner paradoxona népszerűvé vált, széles körben vitatják, és a második kérdés különféle formáit is kidolgozták. Az első verziót Bar-Hillel és Falk [2] javasolta, és így hangzott:
Smith úr két gyermek édesapja. Az utcán sétálva találkoztunk vele egy kisfiúval, akit büszkén mutatott be nekünk fiaként. Mennyi a valószínűsége, hogy Mr. Smith második gyermeke is fiú?Bar-Hillel és Falk ezzel a variációval hangsúlyozták a mögöttes feltételezésekre való odafigyelés fontosságát. Ebben az esetben a nyilvánvaló válasz ½ a helyes. Azonban lehet, hogy valaki nem ért egyet, és azt mondja, hogy mielőtt Mr. Smith bemutatta volna nekünk a fiút, tudtuk, hogy vagy két DD lány, vagy két MM fiú, vagy egy fiú és egy lány apja, ahol a legidősebb vagy MD. fiú vagy lány DM. Így, tekintettel az események kiegyenlítettségére, ismét 1/4-es valószínűséggel kezdjük, hogy Smithnek két fiúja van. Amikor megtudjuk, hogy van legalább egy fiúja, automatikusan elutasítjuk a két lány opciót. Abból pedig, hogy a maradék három kimenetele egyformán valószínű, arra következtetünk, hogy az MM valószínűsége 1/3.
Bar-Hillel és Falk [2] azt mondják, hogy van egy természetes feltételezés, hogy Mr. Smith véletlenszerűen választott ki egy gyereket, akivel együtt jár, de ebben az esetben az MM, MD és MM kombinációi már nem egyformán valószínűek. Ebben az esetben MM-helyzetben a fiú társválasztása garantált, a fennmaradó két esetben pedig a valószínűség eltér 1-től. Ha ennek a tényezőnek a figyelembevételével végezzük a számításokat, akkor kiderül, hogy a valószínűség hogy a második gyerek fiú az 1/2.
Bar-Hillel és Falk azonban alternatív forgatókönyvet javasoltak. Azt sugallták, hogy létezik egy kultúra, amelyben a fiút úgyis kiválasztották, hogy sétáljon. E feltevés alapján az MM, MD és DM gyermekpárok egyformán valószínűek, annak ellenére, hogy tudjuk, hogy egy fiú elment sétálni, amiből azt kaphatjuk, hogy annak valószínűsége, hogy a második gyermek is fiú, 1/3. . [2]
1991-ben Marilyn vos Savant a Parade magazin "Kérdezd meg Marilynt" rovatában válaszolt egy olvasójának, aki arra kérte, hogy oldja meg a kölyökkutya paradoxon egy változatát. És 1996-ban megjelent a második kérdés egy másik változata:
Maga Vos Savant klasszikus választ adott erre a kérdésre. Ugyanakkor végzett egy felmérést is, amelyben a 2 gyermekes olvasók, köztük legalább egy fia válaszoltak arra a kérdésre, hogy milyen neműek a gyermekeik. A közel 18 000 ember 35,9%-a azt válaszolta, hogy 2 fiúgyermeke van. [10] Vos Savant [4] ezt a feljegyzését Carleton és Stansfield [10] részletesen áttekintette a The American Statistician 2005-ös cikkében. A szerzők nem tárgyalják a kérdés lehetséges kétértelműségét, és arra a következtetésre jutottak, hogy válasza matematikailag helyes, tekintettel arra, hogy a fiú és a lány születésének valószínűsége egyenlő, és hogy a második gyermek neme nem függ a az első neme. Kutatásával kapcsolatban kijelentik, hogy "mindenesetre megerősítjük, hogy igaz Vos Savant azon állítása, miszerint az eredeti kérdésben szereplő valószínűségek nem egyenlőek, és hogy két fiú valószínűsége közelebb van az 1/3-hoz, mint az 1/2-hez. ".
Carlton és Stansfield ezután egy fiú és egy lány paradoxonát tárgyalja az életben. Bemutatják, hogy a való világban a fiúk valamivel gyakoribbak, mint a lányok, és hogy a második gyermek nemének függetlensége az első nemétől nem olyan nyilvánvaló. A szerzők arra a következtetésre jutnak, hogy bár a kérdés premisszája ellentmond a valós megfigyeléseknek, a paradoxonnak nagy pedagógiai értéke van, mivel "a feltételes valószínűség egyik legérdekesebb alkalmazását szemlélteti". Valójában a tényleges valószínűségi értékek nem fontosak; végül is a paradoxon célja az ellentmondásosnak tűnő logikák bemutatása , nem pedig a tényleges születési arány.
A statisztikai elemzés szempontjából a fenti kérdések gyakran félreérthetőek, és mint ilyenekre nincs „helyes” válasz. A második gyermek paradoxona azonban itt még nem ér véget, és hasznosak azok a lehetőségek is, amelyeket ez megnyílik az ember intuitív valószínűségérzékelésének feltárására. Az olyan tanulmányok, mint amilyeneket Vos Savant végzett, azt állítják, hogy ha az emberek következetesek lennének, nagyobb valószínűséggel adnának 1/3-os választ, de az 1/2-es válasz gyakoribb. E második kérdés kétértelműsége, miközben paradoxonokat teremt a klasszikus matematikában, az alapja az emberek intuitív valószínűségérzékelésének tanulmányozásának. Fox és Levav 2004-ben [7] ezt a paradoxont használta annak tanulmányozására, hogy az emberek hogyan értékelik a feltételes valószínűséget. Ebben a tanulmányban a paradoxont kétféleképpen mutatták be az embereknek:
A szerzők azzal érvelnek, hogy az első megfogalmazás azt a téves benyomást kelti az olvasóban, hogy két egyformán valószínű lehetőség van a "másik gyerek" számára [7] , míg a második megfogalmazás azt a benyomást kelti az olvasóban, hogy négy lehetséges kimenetel van, amelyek közül az egyik kizárt (ebből adódóan a valószínűsége két fiúra 1/3, mivel három lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül csak az egyiknek mindkét gyermeke fiú).
A kísérlet eredményei szerint kiderült, hogy ez a két megfogalmazás összezavarja az embereket. Tehát az első esetben az 1/2-es választ a megkérdezettek 85%-a, míg a második esetben csak 39%-a adta meg. A szerzők azt sugallják, hogy az ok, amiért az emberek eltérően válaszolnak erre a két kérdésre, az az, hogy az emberek olyan heurisztikák segítségével hoznak döntéseket, amelyek informális módszereket használnak, szemben az egyértelmű matematikai modelleken alapuló döntési módszerekkel .