Paradox "Grand Hotel"

A Grand Hotel paradoxon egy gondolatkísérlet , amely a végtelen halmazok tulajdonságait szemlélteti . Mutat egy szállodát végtelen számú szobával, amelyek mindegyike vendég. Ugyanakkor mindig több látogatót vonhat be a szállodába, még akkor is, ha végtelenül sok van. A paradoxont először David Hilbert német matematikus fogalmazta meg 1924 -ben, és Georgy Gamow One, Two, Three... Infinity című könyvében tette népszerűvé 1947 -ben [1] [2] .

Paradox

Képzeljünk el egy szállodát megszámlálható számú szobával, amelyek mindegyikében van vendég. Első pillantásra lehetetlen új látogatókat befogadni a szállodába, mintha egy közönséges szálloda lenne véges számú szobával.

Új látogató

Új személy elhelyezéséhez egy szobát ki kell hagynunk. Ehhez az 1-es számú szobából a 2-es szobába költöztetjük a vendéget, a 2-es szobából a 3-as szobába, és így tovább. Általában egy vendég az n szobából az n+1 szobába költözik. Így felszabadítjuk az első szobát, amelyben új vendég elszállásolására lesz lehetőség.

Végtelen számú új látogató

Ebben az esetben végtelen számú szobát kell felszabadítanunk: az 1-esből a 2-esbe, a 2-esből a 4-esbe, általános esetben az n-esből a 2n-es szobába költöztetjük a vendéget. Így minden páratlan szobát felszabadítunk, amelyek száma is megszámlálható halmaz.

Végtelen számú busz végtelen számú utassal

Számos módja van annak, hogy végtelen számú buszról végtelen számú utast fogadjunk. A legtöbb módszer azt feltételezi, hogy minden utasnak van egy ülésszáma, ahol a buszban ül. A továbbiakban az ülőhely számát az n változóval jelöljük, és a c változóval annak a busznak a számát, amelyben az utas ül.

Prime Power Method

Először minden vendéget áthelyezünk a szobájukból a 2. fokú szobákba. Így a szobából érkező személy most a szobában lesz . Minden utast az első busztól a szám alatti szobákban , a másodiktól a szám alatti szobákban fogunk elhelyezni . A busz utasai szobákban kerülnek elhelyezésre , ahol páratlan prímszám található . Az aritmetika alaptétele szerint (lásd az Aritmetika alaptétele című cikket ) a számok nem egyeznek. Ez a megoldás szabad szobákat hagy, amelyek száma nem egy prímszám hatványa , vagyis a legtöbb nem prímszám: 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22 stb. $én$ $2^i$ $3^n$ $5^n$ $c$ $p^{n}$ $p$ $c$

Integer faktorizációs módszer

Minden vendég, aki a buszon helyet foglal, elhelyezhető egy szobában (a szálloda nulla buszként is kijelölhető). Például a 2592-es szoba vendége ( ) a 4-es buszon ült, és az 5-ös ülésen ült. Mivel minden szám egyedileg bővül a prímtényezők szorzatává, így egyik vendég sem marad szoba nélkül, és senki sem kerül elfoglalt helyiségbe. Az előző módszerhez hasonlóan ebben az esetben is vannak szabad szobák. $n$ $c$ $2^n3^c$ $2^{5}\times 3^{4}$

Alternatív módszer

Minden vendégnél összehasonlítják a buszszámainak hosszát és bármely pozíciószámrendszerben elfoglalt helyüket . Ha az egyik szám rövidebb, akkor kezdő nullákat adunk hozzá mindaddig, amíg mindkét szám azonos számjegyű lesz. Ezeknek a számoknak a számait felváltva kapjuk a szobaszámot. Például a 843 -as buszon a 6917 -es ülésen ülő utas a 6 0 9 8 1 4 7 3 szobát kapja meg , ami 60981473.

A prímszámok hatványait tartalmazó megoldással ellentétben az alternációs módszer teljesen kitölti a szállodát, nem hagy üres szobákat.

A háromszögszám módszer

Kezdetben a szálloda minden lakóját szobáról szobára költöztetik (azaz a -edik háromszögszám , ). Továbbá a buszon ülő vendégek egy szobában kerülnek elhelyezésre . Így az összes szoba foglalt lesz, és minden szobában csak egy lakó lesz. $n$ $T_{n}$ $n$ ${\frac {n(n+1)}{2}}$ $n$ $c$ $T_{c+n-1}+n$

A végtelenség magasabb szintjei

Tegyük fel, hogy a szálloda a tengerparton van. Végtelen számú autókomp érkezik a partra, mindegyik végtelen számú buszt szállít, mindegyik végtelen számú utassal. Ez a helyzet, amely a végtelenség három "szintjét" érinti, a fenti módszerek bármelyikének kiterjesztésével megoldható. Ebben az esetben azt is feltételezzük, hogy a kompoknak van sorozatszáma.

Ezen túlmenően az utas címének „ülés-busz-komp” formában történő megjelölése kerül alkalmazásra. Például a 768-85-7252 a 7252-es komp 85-ös buszának 768-as ülésén ülő utas címe.

Az egész faktorizációs módszert egy új prímszám hozzáadásával lehet alkalmazni: a kompbuszon ülésben ülő utas egy helyiségbe kerül . Ez a módszer nagyon nagy számokat ad vissza kis bemenetek esetén. Például egy 10-45-26 címmel rendelkező utas a 4507923441392263334111022949218750000000000 ( ) számú szobát foglalja el. Mint korábban említettük, a módszer rengeteg szobát hagy üresen. $n$ $c$ $f$ ${\displaystyle 2^{n}3^{c}5^{f))$ $2^{10}\times 3^{45}\times 5^{26}$

A váltakozási módszert nem két számjegy váltogatásával lehet használni, hanem három. Tehát az 1-2-3-as utas a 123-as, a 42609-233-7092-es címû utas pedig a 400207620039932-es szobát foglalja el.

Bármilyen szintű végtelenség lehetőségére számítva, a szállodavezetés úgy kívánja a szobákat kijelölni, hogy a lakókat ne kelljen áthelyezni, amikor új vendégek érkeznek. Az egyik lehetséges megoldás az, hogy a vendégeknek egy bináris számot adunk, ahol egyesek nullacsoportokat választanak el, minden csoportban a nullák száma megegyezik a vendég címének megfelelő számmal, minden végtelenségi szinten. Például egy vendég a 2-5-4-3-1 címmel a 10010000010000100010 szobába kerül, ami az 590882 decimális számnak felel meg.

A módszer kiegészítéseként minden nullacsoportból eltávolítunk egy nullát. Így a 2-5-4-3-1 címû vendég a 101000010001001-es szobához lesz hozzárendelve, ami az 10308-as decimális számnak felel meg. Ez a kiegészítés biztosítja, hogy minden szobát vendégek töltsenek be.

Elemzés

Hilbert paradoxona valóban paradoxon. A "minden szobában van vendég" és "a vendégek már nem szállásolhatók el" kifejezések elvesztik egyenértékűségüket, ha végtelen számú szobáról van szó.

A véges és a végtelen halmazok tulajdonságai alapvetően különböznek. A "Grand Hotel" paradoxon Cantor transzfinit számelméletének segítségével érthető meg . Egy normál (nem végtelen) több szobás szállodában a páratlan szobák száma nyilvánvalóan kevesebb, mint az összes szoba. A Grand Hotel Gilbertben azonban a páratlan szobák száma nem kevesebb, mint az összes szoba száma. Matematikai értelemben a páratlan szobákat tartalmazó részhalmaz számossága megegyezik az összes szoba halmazának számosságával. Valójában a végtelen halmazokat úgy jellemezzük, mint olyan halmazokat, amelyeknek megfelelő részhalmazai azonos sokszínűséggel rendelkeznek.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kragh, Helge. Hilbert végtelen szállodájának igaz (?) története (neopr.) . — 2014.
↑ Gamow, George. Egy kettő három... Infinity: Facts and Speculations of Science (angol) . - New York: Viking Press , 1947. - 17. o.

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert 90. tétele Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"