Kijelzős napellenző
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 23-án felülvizsgált
verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .
A napellenző leképezése a dinamikus rendszerek elméletében a következő:
Az értékek esetében a sátortérkép önmagává alakítja a szegmenst , ami egy dinamikus rendszer , diszkrét idővel. Konkrétan, egy pont pályája egy intervallumból a következő sorozat :
Annak ellenére, hogy a sátorleképezés meglehetősen egyszerű , nemlineáris dinamikus rendszer, számos olyan tulajdonságot mutat, amelyek a bonyolultabb rendszerekre is jellemzőek: a periodikus pályák sűrűsége , keveredés , kezdeti feltételekre való érzékenység , pl. véletlenszerűség [1] .
Tulajdonságok
- Ha , egy vonzó fix pont : a rendszer hajlamos nullázni az idővel a végtelenbe haladva bármely kezdeti értéknél az intervallumból .
- Ha , mindegyik fix pont, és az egységperiódus preperiodikus pontja (egy iteráció után fix pontokká válnak).
- Ha , akkor a leképezésnek két fix pontja van: és . Sőt, mindkettő instabil lesz, vagyis a fix pontok közelében fekvő értékek a későbbi iterációkkal eltávolodnak tőlük. Ezen túlmenően az ilyen értékek esetében az intervallum periodikus és nem periodikus pontokat is tartalmaz.
- Ha , akkor a rendszer az intervallumok halmazát a szegmensből önmagára képezi le, ezek egyesítése pedig a sátorleképezés Julia halmaza , azaz. pontok halmaza, amelyek pályája instabil.
- A nagyítás azt mutatja, hogy μ ≈ 1 esetén a Julia halmaz több intervallumból áll. A diagramok 4 és 8 intervallumot mutatnak megfelelő nagyítás mellett.
-
A napellenzőt ábrázoló bifurkációs diagram . A nagyobb sűrűség nagyobb valószínűségnek felel meg, hogy az x változó egy adott paraméterértéket vesz fel
-
A csúcs közelében nagyítva 4 intervallum látható
-
A további nagyítás 8 intervallumot mutat
- Ha , akkor a szakasz intervallumai konvergálnak, és a Julia halmaz a teljes intervallum (lásd a bifurkációs diagramot).
- Ha , akkor a rendszer a [0;1] szakaszt önmagává alakítja. Ebben az esetben a periodikus pontok sűrűek a szakaszon, így a leképezés véletlenszerűséget mutat [2] . A nem periodikus viselkedés az irracionális számokra jellemző, amit azzal a mechanizmussal mutathatunk meg, amellyel a leképezés hat a bináris jelöléssel ábrázolt számra: a bináris vesszőt egy tizedesjegygel jobbra tolja, majd ha mi történt hogy a vesszőtől balra legyen egy egység, eldobja és minden egyest nullává változtat, és fordítva (kivéve az utolsót a véges bináris jelölésű számoknál). Egy olyan irracionális szám esetében, amelynek bináris jelölése nem periodikus, ez egy végtelen folyamat. Ezenkívül érdemes megjegyezni, hogy a sátorleképezés topológiailag konjugált a logisztikai leképezéshez és félig konjugált a duplázó leképezéshez , ami jelzi ezen leképezések dinamikus tulajdonságainak hasonlóságát [3] . Valóban, legyen a leképezési sátor pályája -re , és legyen a logisztikai leképezés pályája -ra , akkor ezek a következő összefüggésben állnak egymással kapcsolatban: .
- Ha , a leképezés Julia halmaza még mindig végtelen számú periodikus és nem periodikus pontot tartalmaz, de a szakasz pontjai szinte mindenhol a végtelen felé hajlanak. Maga a készlet kantoriánussá válik . A napellenző térkép Julia készlete a szabványos Cantor készlet.
Aszimmetrikus napellenző kijelző
Ezenkívül a dinamikus rendszerek elméletének vizsgálati tárgya a napellenző aszimmetrikus megjelenítése . A szokásos sátorvitrin
kiterjesztéseként is felfogható :
A napellenző aszimmetrikus megjelenítése megőrzi a darabonkénti lineáris függvény formáját, és felhasználható valós számok ábrázolására a decimális jelöléssel analóg módon [4] .
Lásd még
Irodalom
- ↑ Lynch, Stephen. "Nemlineáris diszkrét dinamikus rendszerek." Dinamikus rendszerek Maple-t használó alkalmazásokkal. Birkhauser Boston, 2010. 263-295.
- ↑ Li, Tien-Yien és James A. Yorke. "A harmadik periódus káoszt jelent." Amerikai matematikai havilap (1975): 985-992.
- ↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch és Robert L. Devaney. "Diszkrét dinamikus rendszerek." Differenciálegyenletek, dinamikus rendszerek és bevezetés a káoszba. Vol. 60. Akadémiai Kiadó, 2003. 327-357.
- ↑ Lagarias, JC, HA Porta és KB Stolarsky. "Aszimmetrikus sátortérkép bővítések. I. Végül periodikus pontok." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.