Kijelzős napellenző

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A napellenző leképezése a dinamikus rendszerek elméletében a következő: $f_{\mu}=\mu \min\{x,1-x\}$

Az értékek esetében a sátortérkép önmagává alakítja a szegmenst , ami egy dinamikus rendszer , diszkrét idővel. Konkrétan, egy pont pályája egy intervallumból a következő sorozat : $\mu\in[0;2]$ $[0;1]$ $x_0$ $[0;1]$ $x_{n}$

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2)) ,\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}

Annak ellenére, hogy a sátorleképezés meglehetősen egyszerű , nemlineáris dinamikus rendszer, számos olyan tulajdonságot mutat, amelyek a bonyolultabb rendszerekre is jellemzőek: a periodikus pályák sűrűsége , keveredés , kezdeti feltételekre való érzékenység , pl. véletlenszerűség [1] .

Tulajdonságok

Ha , egy vonzó fix pont : a rendszer hajlamos nullázni az idővel a végtelenbe haladva bármely kezdeti értéknél az intervallumból . $\mu\in[0;1)$ $x=0$ $x$ $[0;1]$
Ha , mindegyik fix pont, és az egységperiódus preperiodikus pontja (egy iteráció után fix pontokká válnak). $\mu=1$ $x\in[0;0,5]$ $x\in(0,5;1]$
Ha , akkor a leképezésnek két fix pontja van: és . Sőt, mindkettő instabil lesz, vagyis a fix pontok közelében fekvő értékek a későbbi iterációkkal eltávolodnak tőlük. Ezen túlmenően az ilyen értékek esetében az intervallum periodikus és nem periodikus pontokat is tartalmaz. $\mu\in(1;2]$ $x=0$ $x={\frac {\mu }{1+\mu }}$ $x$ $\mu$ $x\in [\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
Ha , akkor a rendszer az intervallumok halmazát a szegmensből önmagára képezi le, ezek egyesítése pedig a sátorleképezés Julia halmaza , azaz. pontok halmaza, amelyek pályája instabil. $\mu\in(1;\sqrt2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
- A nagyítás azt mutatja, hogy μ ≈ 1 esetén a Julia halmaz több intervallumból áll. A diagramok 4 és 8 intervallumot mutatnak megfelelő nagyítás mellett.

A napellenzőt ábrázoló bifurkációs diagram . A nagyobb sűrűség nagyobb valószínűségnek felel meg, hogy az x változó egy adott paraméterértéket vesz fel $\mu$
A csúcs közelében nagyítva 4 intervallum látható
A további nagyítás 8 intervallumot mutat

Ha , akkor a szakasz intervallumai konvergálnak, és a Julia halmaz a teljes intervallum (lásd a bifurkációs diagramot). $\mu\in(\sqrt2;2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$

Ha , akkor a rendszer a [0;1] szakaszt önmagává alakítja. Ebben az esetben a periodikus pontok sűrűek a szakaszon, így a leképezés véletlenszerűséget mutat [2] . A nem periodikus viselkedés az irracionális számokra jellemző, amit azzal a mechanizmussal mutathatunk meg, amellyel a leképezés hat a bináris jelöléssel ábrázolt számra: a bináris vesszőt egy tizedesjegygel jobbra tolja, majd ha mi történt hogy a vesszőtől balra legyen egy egység, eldobja és minden egyest nullává változtat, és fordítva (kivéve az utolsót a véges bináris jelölésű számoknál). Egy olyan irracionális szám esetében, amelynek bináris jelölése nem periodikus, ez egy végtelen folyamat. Ezenkívül érdemes megjegyezni, hogy a sátorleképezés topológiailag konjugált a logisztikai leképezéshez és félig konjugált a duplázó leképezéshez , ami jelzi ezen leképezések dinamikus tulajdonságainak hasonlóságát [3] . Valóban, legyen a leképezési sátor pályája -re , és legyen a logisztikai leképezés pályája -ra , akkor ezek a következő összefüggésben állnak egymással kapcsolatban: . $\mu=2$ $\mu=2$ $r=4$ $\mu=2$ $x_{n}$ $\mu=2$ $y_{n}$ $r=4$ $x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).$
Ha , a leképezés Julia halmaza még mindig végtelen számú periodikus és nem periodikus pontot tartalmaz, de a szakasz pontjai szinte mindenhol a végtelen felé hajlanak. Maga a készlet kantoriánussá válik . A napellenző térkép Julia készlete a szabványos Cantor készlet. $\mu\in(2;+\infty)$ $[0;1]$ $\mu=3$

Aszimmetrikus napellenző kijelző

Ezenkívül a dinamikus rendszerek elméletének vizsgálati tárgya a napellenző aszimmetrikus megjelenítése . A szokásos sátorvitrin kiterjesztéseként is felfogható : $f_\alpha: [0;1] \jobbra nyíl [0;1], \alpha \in (1; +\infty)$ $\mu=2$

x_{n+1}=f_\alpha(x_n)=\begin{cases} \alpha x_n & \mathrm{for}~~ 0 \le x_n < \frac{1}{\alpha} \\ \\ \frac {\alpha}{\alpha-1} (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{\alpha} \le x_n \le 1 \end{cases}

A napellenző aszimmetrikus megjelenítése megőrzi a darabonkénti lineáris függvény formáját, és felhasználható valós számok ábrázolására a decimális jelöléssel analóg módon [4] . $[0;1]$

Lásd még

Irodalom

↑ Lynch, Stephen. "Nemlineáris diszkrét dinamikus rendszerek." Dinamikus rendszerek Maple-t használó alkalmazásokkal. Birkhauser Boston, 2010. 263-295.
↑ Li, Tien-Yien és James A. Yorke. "A harmadik periódus káoszt jelent." Amerikai matematikai havilap (1975): 985-992.
↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch és Robert L. Devaney. "Diszkrét dinamikus rendszerek." Differenciálegyenletek, dinamikus rendszerek és bevezetés a káoszba. Vol. 60. Akadémiai Kiadó, 2003. 327-357.
↑ Lagarias, JC, HA Porta és KB Stolarsky. "Aszimmetrikus sátortérkép bővítések. I. Végül periodikus pontok." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.