Rendelési viszony

A sorrendi reláció egy adott halmaz elemei közötti bináris reláció (a továbbiakban vagy ), amely tulajdonságaiban hasonló az egyenlőtlenségi reláció tulajdonságaihoz . $\preccurlyeq$ $\prec$

Egy halmazt, amelynek minden eleme összehasonlítható egy adott sorrendi relációval (vagyis bármely , vagy ), lineárisan rendezettnek , a sorrendi relációt pedig lineáris sorrendnek nevezzük . Ha nem minden egyenlőtlen elem összehasonlítható, a sorrendet részlegesnek , a halmazt pedig részlegesen rendezettnek nevezzük . Létezik szigorú sorrend is , amelyben lehetetlen, és egyébként nem szigorú [1] . $a\neq b$ $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $\prec$ $a\prec a$ $\preccurlyeq$

Példák [1] .

A valós számok relációja egy nem szigorú lineáris sorrendet határoz meg számukra. $\leqslant$
A valós számok aránya szigorú lineáris sorrendet határoz meg számukra. $<$
Oszthatósági reláció a természetes számok halmazán : ha osztó Ez egy nem szigorú parciális rend, mivel nem minden természetes szám osztható egymással maradék nélkül. $a|b,$ $a$ $b.$
Az adott halmaz részhalmazainak befoglalási relációja is meghatároz egy nem szigorú részleges sorrendet.
A reláció (ős, leszármazott) egy állatpopuláción szigorú részrend.

Definíciók

A halmazon lévő nem szigorú (reflexív) részleges rendű reláció ( ) egy bináris reláció , amelyre bármelyikre teljesülnek a következő feltételek [ 2] : $\preccurlyeq$ $x$ $ABC$ $x$

Reflexivitás : . $a\preccurlyeq a$
Antiszimmetria : ha és , akkor . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $a=b$
Tranzitivitás : ha és , akkor . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq c$ $a\preccurlyeq c$

Célszerű továbbá meghatározni a szigorú (antireflexív) sorrendi relációt ( ) az ugyanazon halmazon lévő relációhoz [1] : $\preccurlyeq$ $\prec$

a \prec b

, ha és egyben

a\preccurlyeq b

a\neq b.

A szigorú kapcsolat tulajdonságai különböznek a nem szigorúak tulajdonságaitól:

Antireflexivitás : ; $a\not \prec a$
Aszimmetria : ha , akkor ; $a\prec b$ $b\not \prec a$
Tranzitivitás : ha és , akkor . $a\prec b$ $b\prec c$ $a\prec c$

A 2. tulajdonság nem független, az antireflexivitásból és tranzitivitásból következik. Ezért egy reláció akkor és csak akkor szigorú rendű reláció, ha antireflexív és tranzitív.

Egy halmazt , amelyen szigorú vagy nem szigorú sorrendű relációt vezetünk be, részlegesen rendezettnek nevezzük . Ha ezen túlmenően bármely elemre az egyik feltétel is teljesül: vagy akkor a sorrendet lineárisnak nevezzük , és a halmazt lineárisan rendezzük [2] . $x$ $a\neq b$ $a\prec b$ $b\prec a,$

Történelem

A jeleket Thomas Harriot angol tudós javasolta 1631- ben posztumusz publikált munkájában [3] . $<$ $>$

A részben rendezett halmaz definícióját először F. Hausdorff fogalmazta meg kifejezetten [4] , bár G. Leibniz már 1690 körül foglalkozott hasonló sorrendi axiómákkal . A lineárisan rendezett és teljesen rendezett halmazok definícióját először G. Kantor adta meg [5] .

Változatok és általánosítások

Ha egy rendezett halmaz valamilyen algebrai struktúrát alkot, akkor általában megkövetelik, hogy ebben a struktúrában a sorrend összhangban legyen az algebrai műveletekkel. Lásd az erről szóló cikkeket:

Néha hasznos olyan összefüggéseket figyelembe venni, amelyekre csak az első és a harmadik axióma érvényes (reflexivitás és tranzitivitás); az ilyen kapcsolatokat preordernek vagy kváziordernek nevezzük . Ha kvázi-rend, akkor a [6] képlettel adott összefüggés : $\prec$

a\equiv b,

ha és

a \prec b

b\prec a,

ekvivalencia reláció lesz . Egy hányados halmazon ezzel az ekvivalenciával egy nem szigorú sorrend a következőképpen definiálható [6] :

[a]\preccurlyeq [b],

a\prec b,

ahol az elemet tartalmazó ekvivalenciaosztály $[x]$ $x.$

Lásd még

Spielrain tétele

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , p. 16, 20-22.
↑ 1 2 Nechaev, 1975 , p. 78.
↑ Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-kézikönyv . - 3. kiadás - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 111 -112. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
↑ Részben rendezett készlet // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 p.
↑ 1 2 Rendelés // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 p.

Irodalom

Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról. - 2. kiadás - M .: Fizmatlit , 1973.
Nechaev V. I. Numerikus rendszerek. - M . : Nevelés, 1975. - 199 p.