Evolúció operátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az evolúciós operátor ( az időbeli evolúció generátora ) a kvantummechanikában egy Hilbert-téren megadott operátor , amely a rendszer állapotát a kezdeti időpillanatból bármely másikba átadja.

Az evolúciós operátor kapcsolata a Hamilton operátorral

Az evolúciós operátor a következő képletekkel kapcsolódik a Hamilton operátorhoz:

${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\jobbra)\jobbra\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\jobbra)\jobbra\},t<t_{0}$

hol vannak az időrendező és a rendelést ellenőrző operátorok. $T,\overline {T}$

Különösen, ha a Hamilton-féle nem függ az időtől, akkor az evolúciós operátor alakja a következő:

${\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Az evolúciós operátor tulajdonságai

1. [1] egy egységes operátor. ${\kalap S}(t_{2},t_{1})$

2. . ${\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{ 3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , ahol az azonosító operátor. ${\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1} ,t$ ${\kalap én}$

Az evolúciós operátor és a Hamilton-féle kapcsolat levezetése

A kvantummechanika posztulátumai szerint a rendszer tiszta állapotát a Hilbert-térből származó vektor írja le . Bevezetünk egy operátort , amely a szabály szerint működik: $|\psi\rangle$ ${\kalap S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

A bevezetett operátornak unitárisnak kell lennie, hogy az állapotvektor normalizálása időben megmaradjon. A Schrödinger-reprezentációban az állapotvektor kielégíti a Schrödinger-egyenletet:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

hol van a Hamilton operátor . ${\kalap H}(t)$

Ha a Hamilton nem függ az időtől, akkor - a Schrödinger-egyenlet megoldása. Ebből következik, hogy az evolúciós operátor alakja: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \hatótávolság$

{\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}

Most hagyjuk, hogy a Hamilton operátor függjön az időtől, és hagyjuk . Ezután a figyelembe vett időintervallumot felosztjuk intervallumokra, és feltételezzük, hogy ezekben az intervallumokban a Hamilton-operátor állandó , at . Ekkor az előző érvelés szerint bármikor az állapotvektor alakja: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\kalap H}(t)={\kalap H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Most pedig mutassuk be az időbeosztás operátort , amely a következő szabály szerint működik: $T$

T\{{\hat H}(t_{{P(m)))){\hat H}(t_{{P(m-1))))\pontok {\hat H}_{{P(1 )}}\}={\kalap H}(t_{m}){\kalap H}(t_{{m-1)))\pontok {\kalap H}(t_{1})

for , bármilyen permutációhoz . $t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{{m}}$ $P(1,2\pontok,m)$

Ezt szem előtt tartva a hullámfüggvényt a következőképpen írhatjuk fel:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Az ingázási operátorokra igaz, hogy . Mivel a T - sorrendű operátorok ingáznak, ez utóbbi átírásra kerül a következőképpen: ${\kalap A},{\kalap B}$ $e^{{{\hat A}}}e^{{{\hat B}}}=e^{{{\hat A}+{\hat B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Amikor ezt megkapjuk $n\jobbra nyíl\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Ezért

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\jobbra)\jobbra\},t>t_{0}

Most vegye figyelembe a kezelőt . Ez ugyanaz, ha figyelembe vesszük a . Használjuk ki azt a tényt ${\kalap S}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\kalap S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\hat S}(t_{0},t){\hat S}(t,t_{0})={\hat I}$

hol van az azonosító operátor. ${\kalap én}$

Akkor:

\lim _{{n\jobbra 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\hat I}

és közvetlen ellenőrzéssel igazoljuk azt

{\hat S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\hat H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\dots e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

hol van az időrendellenes operátor. $\overline {T}$

Jegyzetek

↑ Az evolúciós operátornak unitárisnak kell lennie, hogy az állapotvektor normalizálása időben megmaradjon . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ A 3. tulajdonság a 2. tulajdonság következménye.

Lásd még

Irodalom

Stefanucci, Gianluca. A kvantumrendszerek nem egyensúlyi soktest-elmélete: modern bevezetés / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - P. 81-85. — ISBN 9781139023979 .