Malfatti körei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Malfatti -körök  három kör egy adott háromszögön belül úgy, hogy mindegyik kör érinti a háromszög másik két és két oldalát. A köröket Gianfrancesco Malfattiról nevezték , aki e körök felépítésének problémáját kezdte vizsgálni azzal a téves vélekedéssel, hogy ezek összeadják a három nem metsző kör maximális lehetséges területét egy háromszögön belül. A Malfatti -probléma mindkét problémára vonatkozik, mind a Malfatti-körök felépítésére, mind a három nem metsző kör megtalálásának problémájára a maximális összterületű háromszögön belül.

Malfatti probléma

1803-ban Gianfrancesco Malfatti a problémát javasolta, hogy három hengeres oszlopot faragjanak egy háromszög alakú márványprizmából oly módon, hogy az oszlopok teljes térfogatát maximalizálják. Úgy vélte, mint sokan mások utána, hogy a probléma megoldását három, egymást érő kör adja. Ez azt jelenti, hogy a három Malfatti-kör adja meg a maximális összterületet a háromszögben nem metsző körök közül.

Malfatti olaszul adta ki a művet, és sokan nem tudták eredetiben elolvasni. A művet Joseph Dias Gergonne fordította le franciára az Annales (1810-1811) első kötetében, majd a második és a tizedik kötetben vita következett. A fordításban azonban Gergonne csak az érintőkörök problémáját vetette fel, a maximális terület megtalálását azonban nem.

A hipotézis tévesnek bizonyult. 1930-ban felfedezték [1] , hogy egyes háromszögekben nagyobb terület nyerhető egy mohó algoritmussal , amely egy maximális sugarú kört ír be a háromszögbe, majd egy második kört ír be az egyik legkisebb szögű szögbe. majd beír egy harmadik kört az öt fennmaradó terület egyikébe. A területkülönbség egy szabályos háromszög esetében kicsi, valamivel több mint 1% [2] de ahogy Howard Eaves 1946-ban megjegyezte , egy olyan egyenlő szárú háromszög esetében, amelynek csúcsa nagyon hegyesszögű, az optimális körök (egymás felett helyezkednek el) , az alaptól kezdve) csaknem kétszer akkora területük van, mint a Malfatti-körök [3] [4] . 1967-ben kimutatták [5] , hogy bármely háromszögre a konstrukció három olyan kört eredményez, amelyek területe nagyobb, mint a Malfatti-körök, így a Malfatti-körök soha nem optimálisak.

1992-ben [6] osztályozták a háromszögön belüli maximális összterületű körök elrendezésének minden módját. Ezzel az osztályozással bebizonyosodott, hogy a mohó algoritmus mindig talál területmaximalizáló köröket, és egy képletet javasolunk annak meghatározására, hogy egy adott háromszög számára melyik körelrendezés az optimális. 1997-ben azt feltételezték, hogy bármely n egész számra egy mohó algoritmus egy adott háromszögre talál egy n körből álló halmazt a maximális összterülettel. Ismeretes, hogy a sejtés igaz [7] -re .

Történelem

A háromszögön belüli három érintőkör felépítésének problémáját Ajima Naonobu (安島 直円) 18. századi japán matematikus javasolta még Malfatti munkája előtt, és ez a probléma bekerült Ajima munkáinak egy kiadatlan gyűjteményébe, amelyet egy évvel halála után gyűjtöttek össze. Kusaka Makoto diák [8] . Ugyanezt a problémát találták Montepulciano ( Gilio di Cecco da Montepulciano ) egy korábbi, 1384-es kéziratában. A kézirat az olasz sienai városi könyvtárban található [9] .

Malfatti kora óta számos munka született a Malfatti érintőkörök megalkotásának módszereiről. Richard Guy megjegyezte, hogy a probléma szakirodalma "nagy, töredezett, és nincs mindig tudatában saját létezésének" [10] [11][ adja meg ] . Figyelemre méltó, hogy 1826-ban Jacob Steiner egy egyszerű, közös érintőkön alapuló geometriai konstrukciót mutatott be . Más szerzők azzal érveltek, hogy Steiner konstrukciója nem volt kellőképpen bizonyított, és Andrew Searle Hart bizonyítékot szolgáltatott 1856-ban, Guy azonban Steiner két saját írásában rámutatott a bizonyítékra. Lob és Richmond (Lob, Richmond) Lemus (CL Lehmus, 1819), katalán (1845), Derusso (J. Derousseau, 1895), Pampucha (A. Pampuch, 1904) és Coolidge (JL Coolidge, 1916) megoldásait említette. ), a probléma algebrai megfogalmazása alapján. Az algebrai megoldások nem tesznek különbséget a körök és egy adott háromszög belső és külső érintése között. Ha a feladat általánosított, bármilyen érintést megenged, akkor egy adott háromszögre 32 különböző megoldás létezik [12] , és fordítva, nyolc különböző háromszögre a kölcsönösen érintő körök hármasa lesz megoldás [10] . Bottema és Guy ( Bottema, 2001 , Guy, 2007 ) is megemlítette Adams (C. Adams, 1846), Adolphe Quidde (1850), Schellbach (KH Schellbach, 1853), Cayley (1854 ) problémával foglalkozó munkáját és általánosításait. 1857, 1875), Clebsh (1857), Simons (P. Simons, 1874), Casey (J. Casey, 1888), Roche és Combrus (Rouché, Comberousse, 1900), Baker (HF Baker, 1925), Rogers (LJ) Rogers, 928), Procissi (Angelo Procissi, 1932), Naito (Jun Naito, 1975) és Rogers (DG Rogers, 2005).

Gato és Mazzotti (Gotto , 2000 , Mazzotti, 1998 ) a 19. századi nápolyi matematika egy epizódját mutatják be, amely Malfatti köreihez kapcsolódik. Vincenzo Flauti 1839-ben pályázatot hirdetett három geometriai feladat megoldására, amelyek közül az egyik Malfatti köreinek megalkotása volt. Célja az volt, hogy megmutassa a szintetikus technika (geometria koordináták használata nélkül) felsőbbrendűségét az analitikussal szemben. Annak ellenére, hogy a megoldást egy rivális analitikus geometriai iskola diákja , Fortunato Padula találta meg, Flauti saját tanítványának, Nicola Trudinak adta át a díjat, akinek megoldását Flauti már a verseny kiírása előtt tudta. Az utóbbi időben a Malfatti-körök megszerkesztésének problémáját számítógépes algebrai rendszerek tesztelésére használták [13] [14] .

Steiner konstrukciója

Bár Malfatti korai körökkel kapcsolatos munkájának nagy része analitikus geometriát használ , 1826-ban Jacob Steiner a következő egyszerű geometriai konstrukciót adta.

A háromszög két oldalát érintő kör középpontjának, amely a Malfatti-körökben megfigyelhető, a háromszög egyik felezőjén kell lennie (az ábrán zöld szakaszok). Ezek a felezők három kisebb háromszögre osztják a háromszöget, és a Malfatti-körök Steiner-féle felépítése három segédkör felépítésével kezdődik (az ábrán szaggatott vonalak láthatók), amelyek ebbe a három háromszögbe vannak beírva. Minden segédkörpárnak két közös érintője van. Ezen érintők egyike egy felező, a másodikat az ábrán piros pontozott vonal jelzi. Jelölje a háromszög oldalait a , b és c betűkkel , valamint három olyan érintőt , amelyek nem felezők, x , y és z betűkkel , ahol x az a oldalt nem érintő körök közös érintője , y a nem körök közös érintője. a b oldalt érinti , z pedig a c oldalt nem érintő körök közös érintője . Ekkor a három Malfatti - kör körök]15[bczyésaczx,abyxnégyszöghároma [10] beírt körei .

Sugárképlet

A három Malfatti-kör mindegyikének sugarát egy képlettel találhatjuk meg, amely felhasználja a háromszög a , b és c oldalainak hosszát, az r beírt kör sugarát , a fél kerületét és a három d , e és e távolságot. f a háromszög beírt körének középpontjától az a , b és c oldallal szemközti csúcsokig . A három sugár képlete a következő:

(A sugárkör középpontja a szakaszhoz tartozik ; A sugárkör középpontja a szakaszhoz tartozik ; A sugárkör középpontja a szakaszhoz tartozik .)

Stevanović ( 2003 ) szerint ezeket a képleteket Malfatti fedezte fel, és posztumusz tették közzé 1811-ben.

A kapcsolódó képletek segítségével olyan háromszögekre kereshet példákat, amelyek oldalhossza, bekerülési sugara és Malfatti-kör sugarai mind racionális vagy egész számok. Például egy 28392, 21000 és 25872 oldalú háromszög beírt kör sugara 6930, a Malfatti sugara pedig 3969, 4900 és 4356. Egy másik példa: egy 152460, 165000 és 165000 oldalakkal és Malfatti 740740 sugarú 421 kör sugara 27225, 309076 és [16] sugarak .

Points of Ajima - Malfatti

Adott egy ABC háromszög és a hozzá tartozó három Malfatti-kör, legyen D , E és F  az a pont, ahol a két kör összeér, szemben az A , B és C csúcsokkal . Ekkor a három AD , BE és CF egyenes metszi egymást egy figyelemre méltó pontban , amely az első Ajima-Malfatti pont . Az Ajima - Malfatti második pontja három olyan egyenes metszéspontja, amelyek Malfatti köreinek érintkezési pontjait a háromszög köreinek középpontjaival kötik össze [17] [18] . A Malfatti-körökhöz kapcsolódó további háromszögközéppontok közé tartozik az Iffa-Malfatti-pont, amelyet az első Malfatti-ponthoz hasonlóan három, egymást kölcsönösen érintő körből és a háromszög (kiterjesztett) oldalaiból alakítottak ki, de részben a háromszögön kívül helyezkednek el [19]. a gyökközép pedig három Malfatti-kör [20] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Lob, Richmond, 1930 , p. 287–304.
  2. ↑ Wells, 1991 .
  3. ↑ Éva, 1946 .
  4. ↑ Ogilvy, 1990 .
  5. ↑ Goldberg, 1967 .
  6. ↑ Zalgaller, Los, 1992 , p. 14-33.
  7. ↑ Andreatta, Bezdek, Boroński, 2010 .
  8. ↑ Fukagawa, Rothman, 2008 .
  9. ↑ Simi, Rigatelli, 1993 .
  10. ↑ 1 2 3 Srác, 2007 .
  11. ↑ Richard K. Guy. A háromszög. - S. 114.
  12. ↑ Bottema, 2001 Pampuh (1904) nevéhez fűződik ezeknek a megoldásoknak a felsorolása, Cajori (1893) azonban megjegyezte, hogy Steiner megjegyzéseiben már 1826-ban megadták a megoldások számát.
  13. ↑ Hitotumatu, 1995 .
  14. ↑ Takeshima, Anai, 1996 .
  15. ↑ Martin, 1998 , 5.20 gyakorlat a 96. oldalon.
  16. ↑ Miller, 1875 .
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Ajima-Malfatti Pontok  a Wolfram MathWorld webhelyén .
  18. ↑ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Archiválva : 2012. április 19., a Wayback Machine , X(179) és X(180).
  19. ↑ Háromszögközéppontok enciklopédiája, X(400).
  20. ↑ Stevanovic, 2003 .

Irodalom

Linkek