Nilradikális

A kommutatív gyűrű nilradikálisa az összes nilpotens eleméből  álló ideál .

A nilradikális valóban ideális, mivel két nilpotens elem összege nilpotens ( Newton binomiális képlete szerint), akárcsak egy nilpotens és egy tetszőleges elem szorzata. A nulla gyök a gyűrű összes elsődleges ideáljának metszéspontjaként is jellemezhető .

Ha  egy tetszőleges kommutatív gyűrű, akkor a hányados gyűrű a nilgyökénél fogva nem tartalmaz nilpotens elemeket.

Minden maximális ideál egyszerű, ezért a Jacobson-gyök  – az összes maximális ideál metszéspontja – nulla gyököt tartalmaz. Az Artin-gyűrű esetében ezek egyszerűen egybeesnek, és a nilradikálist maximális nilpotens ideálként írják le . Általánosságban elmondható, hogy ha egy nilgyök végesen generálódik , akkor az nilpotens.

Nem kommutatív általánosítások

Nem kommutatív esetben háromféleképpen lehet általánosítani a nilradikális fogalmát. A nem kommutatív gyűrű alsó nilgyöke az összes elsődleges ideál metszéspontja. A felső nilradikális  olyan, mint egy ideál, amelyet minden nilpotens ideál generál. A Levitsky-gyök méretét tekintve közöttük van, és úgy definiálják, mint a maximális lokálisan nilpotens ideál . Ha a gyűrű Noetherian , akkor mindhárom definíció ugyanaz.

Irodalom

• Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
• Eisenbud, David , "Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry", Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2. kiadás), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0