Redukálhatatlan tört

A matematikában az irreducibilis ( redukálható ) tört a forma közönséges törtrésze , amely nem redukálható . Más szóval, egy tört irreducibilis, ha a számlálója és a nevezője másodprím [1] , vagyis nincs közös osztójuk , kivéve . Például egy tört nem redukálható, de csökkentheti: $\pm {\frac {m}{n}}$ $\pm 1$ ${\frac {121}{90}}$ ${\frac {120}{90}}$ ${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.$

Közönséges törtek

Minden nullától eltérő racionális szám egyedileg ábrázolható az alak irreducibilis törtrészeként, ahol egy egész szám és egy természetes szám. Ez az aritmetika alaptételéből következik . Ha a nevezőt megengedjük negatívnak , akkor egy második irreducibilis ábrázolás is lehetséges: ${\frac {m}{n)),$ $m$ $n$ $n$

-{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}

Egy közönséges tört redukálhatatlan alakra való redukálásához el kell osztani a számlálóját és a nevezőjét a legnagyobb közös osztóval [2] GCD A legnagyobb közös osztó megtalálásához általában Euklidész algoritmusát vagy prímtényezőkre való felosztását használják . $\pm {\frac {m}{n))$ $(m,n).$

Egy n egész szám esetén az irreducibilis tört ábrázolása a következő

n={\frac {n}{1}}\

Változatok és általánosítások

A közös törtek irreducibilitási tulajdonságai igazak egy tetszőleges faktoriális gyűrűre , vagyis olyan gyűrűre, amelyben az aritmetika alaptételének analógja érvényes . A faktoriális gyűrű elemeinek bármely törtrésze (nem nulla nevezővel) ábrázolható irreducibilis formában, és egyedileg ennek a gyűrűnek az egységosztóiig .

A Gauss-számok gyűrűje olyan komplex számokból áll, ahol egész számok. Az egységnek négy osztója van: Ez a gyűrű faktoriális, és a törtek elmélete az egész számokhoz hasonlóan épül fel. Például könnyen ellenőrizhető [3] , hogy egy tört redukálható-e (már irreducibilis) $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$ ${\frac {4+2i}{4+7i}}$ ${\frac {2}{3+2i}}.$

Azok a polinomok , amelyek együtthatói valamilyen gyűrűből származnak, szintén faktoriális gyűrűt alkotnak – a polinomok gyűrűjét . racionális függvények , azaz törtek, amelyek számlálóiban és nevezőiben polinomok találhatók . Az egység osztói itt nem nulla számok (mint a nulla fokú polinomok). Az ábrázolás kétértelműsége megszüntethető, ha a nevezőben lévő polinomot csökkenteni kell .

Egy tetszőleges gyűrű felett azonban a törtek gyűrűjének egy eleme általában véve nem szükséges, hogy egyedi, legfeljebb egységosztói legyen egy irreducibilis tört formájában, mivel az aritmetika főtétele nem érvényes. minden gyűrűben [4] . Tekintsük például a formájú komplex számokat , ahol , egész számok. Az ilyen számok összege és szorzata azonos típusú számok lesznek, tehát gyűrűt alkotnak. Ez azonban nem faktoriális, és a törtek irreducibilis ábrázolása nem egyértelmű, például: $a=m+in{\sqrt {5}}$ $m$ $n$

{\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5))))}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac { 1-i{\sqrt {5}}}{3}}

A második és a harmadik törtnek van számlálója és nevezői prímszáma is a megadott gyűrűhöz, így mindkét tört irreducibilis.

Jegyzetek

↑ Gusev, Mordkovich, 2013 , p. 29-30.
↑ Vigodszkij, 2006 , p. 81-82.
↑ Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Zsikov V.V. Az aritmetika alaptétele // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , 3. sz . - S. 112-117 .

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika: tanulmányi útmutató. — M .: Astrel, 2013. — 671 p. - (Hallgatói kézikönyv). - ISBN 978-5-271-07165-2 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Csökkentett tört a Wolfram MathWorldnél .