Young egyenlőtlensége

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Young matematikai egyenlőtlensége a Hölder-féle egyenlőtlenség bizonyítására használt elemi egyenlőtlenség . Ez az általánosabb Young-Fenchel egyenlőtlenség speciális esete.

Megfogalmazás

Legyen és konjugált indikátorok (azaz olyan számok, hogy ). Akkor $a,b\geqslant 0$ $p,q >\!\ 1$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$

ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

Bizonyítás

Mert vagy az egyenlőtlenség nyilvánvaló. Mert az egyenlőtlenség a logaritmikus függvény felfelé konvexitásából ("konvexitás") (ezt a tulajdonságot konkávságnak is nevezik ) következik : bármely , $a=0$ $b=0$ $a>0$ $b>0$ $x_{1}$ $x_2>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$ .

Ha beletesszük ezt az egyenlőtlenséget , azt kapjuk $\alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b,$

$\ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q))=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)$ ,

ami ekvivalens Young egyenlőtlenségével.

Alternatív

Bizonyítás a Young-Fenchel egyenlőtlenség speciális eseteként. A skalárfüggvényhez a Young-Fenchel egyenlőtlenség a következőképpen írható:

f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x

hol van a függvény Legendre transzformációja . $f^\star(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x))$ $f(x)$

Ha tesszük , akkor a Legendre transzformáció egy pontban megadja $f(x)=x^p/p$ $\bar y=\bar x^{p-1}$

f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q

ahol . A kapott egyenlőtlenséget az eredeti egyenlőtlenséggel helyettesítve megkapjuk a kívánt eredményt. $1/q=1-1/p$

Megjegyzés

Az egyenlőség akkor és csak akkor valósul meg . $a^p = b^q$

Young egyenlőtlensége

Megfogalmazás

Bizonyítás

Alternatív

Megjegyzés

Lásd még