Sorompó feletti tükrözés

A gát feletti reflexió a kvantummechanikában használt kifejezés a mozgó részecske potenciálgátról való visszaverődésének jelenségére, ami a klasszikus fizikában lehetetlen, és amelynek maximális magassága kisebb, mint a részecske összenergiája . A visszaverődési együtthatót a gát alakja (egydimenziós esetben ), valamint a részecske energiája és tömege határozza meg. Ebben az esetben az átviteli együttható kisebb, mint egység. Hasonló hatás lép fel, amikor egy részecske áthalad egy potenciállépcsőn vagy kvantumkúton . ${\displaystyle U_{max))$ $E$ $U(x)$

Megfontolás megközelítése

A potenciálprofiltól függetlenül a részecske mozgását a stacionárius Schrödinger-egyenlet segítségével vesszük figyelembe . Feltételezzük, hogy a részecske balról jobbra mozog (a tengely mentén ), a potenciál nagy távolságra az akadálytól balra egyenlő nullával, jobbra pedig (esetleg nullával is egyenlő). Ebben az esetben az akadálytól balra és jobbra lévő hullámfüggvények a következő alakú síkhullámok: $U(x)$ $x$ $V_{0}$ $V_{0}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,

(bal szélső)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,

(jobb szélen).

k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2))))

és a hullámvektorok modulusai.

k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2))))

A tömeg általában régiónként eltérő lehet, ezért a szimbóluma egy további indexszel van ellátva; a Planck-állandó. $m$ $\hbar$

Ha a profil éles ugrásokat tartalmaz, akkor a hullámfüggvény és a valószínűségi áramok "összefűzésének" feltételének minden határon teljesülnie kell ; ez utóbbi a mennyiség folytonosságának biztosítását igényli . $U(x)$ $\psi$ $\psi ^{'}/m$

A Schrödinger-egyenlet megoldása során ismeretlen és állandó konstansokat határozunk meg , amelyek segítségével a reflexiós és transzmissziós együtthatókat is megtaláljuk: $r$ $t$

R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}

Ennek a megfontolásnak több rendszerre vonatkozó eredményeit az alábbiakban mutatjuk be.

Példák

Potenciális energiaugrás

A részecske tömegének megváltoztatása nélkül eltérő potenciális energiájú régióba való átmenetének problémája a következő megoldással rendelkezik: $V_{0}=V$

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

A reflexiós és transzmissziós együtthatók

R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}, \quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}

A reflexiós együtthatónak véges értéke van, de ahogy közeledik a végtelenhez, nullára hajlik. $E$

Téglalap alakú potenciálgát

Téglalap alakú akadály esetén a potenciál mindkét oldalon nulla (és ). Az illesztési feltételek két határon hatnak: at és . A hullámvektorok balról jobbra és a gátban vannak $V_{0}=0$ $x=0$ $x=a$

k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(EV )}{\hbar ^{2}}}}}

Eredmény a visszaverődési és transzmissziós együtthatókra:

R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2)) {4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin ^{2}{k_{b}a}}}

A reflexiós együttható általában nem nulla. De bizonyos energiáknál ez a szinusz nullázásának köszönhető. $E>V$ $E$ $R=0$

Az effektív tömeg változása

Ebben az esetben a és együtthatók a következő képletekkel számíthatók ki: $r$ $t$

r={\frac {{\sqrt {m_{1))}-{\sqrt {m_{2))))({\sqrt {m_{1))}+{\sqrt {m_{2 }}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}

Ennek megfelelően a reflexiós és átviteli együtthatók lesznek

R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt { m_{2))))}\jobbra)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2)))){\left({\sqrt {m_{ 1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\jobbra)^{2}}}

Ha az effektív tömegek egyenlőek, akkor nincs visszaverődés.

Végtelen kvantumkút

A delta alakú kvantumkút a formájú potenciál , ahol . $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda ={\mbox{const}}<0$

Megjegyzés: a potenciál -funkcionális jellemzőinek jelenlétében az áramfolytonosság követelményéből következő derivált illesztési feltételek némileg megváltoznak, lásd közelebbről . $\delta$

Egy ilyen kút reflexiós és átviteli együtthatója az

R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))},\qquad T =|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

Kiderült, hogy egy részecske visszaverődése lehetséges, ha bármilyen energiával a kút felett mozog , bár az energia növekedésével a visszaverődés valószínűsége csökken. $E$

Gyakorlati jelentősége

A gyakorlatban minden fent bemutatott struktúra megtalálható vagy létrehozható. A félvezető heterostruktúrák technológiájában lehetőség nyílik többrétegű rendszerek előállítására különböző anyagokból. Mivel az anyagok különböző kombinációinak lehetőségei meglehetősen szélesek, nagyon reális a kívánt gátmagasságok (eV töredékétől több eV-ig) és effektív tömegértékek elérése . Ennek megfelelően a vezetési sáv profilja a potenciális profil szerepét fogja betölteni . $U(x)$ $E_{c}(x)$

Irodalom

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. - M .: Nauka , 1989 . — 768 p. - ("Elméleti fizika", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 .
Flygge Z. Problémák a kvantummechanikában. - LKI Kiadó, 2008. - T. 1.