Többpólusú

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2016. november 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 24 szerkesztést igényelnek .

Multipólusok (a latin multum - sok és a görög πόλος - pólus szóból) - a pontforrások ( töltések ) bizonyos konfigurációi. A többpólus legegyszerűbb példái a ponttöltés, egy nulladrendű többpólus; két ellentétes előjelű, abszolút értékben egyenlő töltés - dipólus vagy elsőrendű multipólus; 4 azonos abszolút nagyságú töltés egy paralelogramma csúcsaiban elhelyezve úgy, hogy annak mindkét oldala ellentétes előjelű töltéseket (vagy két azonos, de ellentétes irányú dipólust) kapcsol össze - egy kvadrupólust vagy egy 2. rendű multipólust. A multipólus név tartalmazza a többpólust alkotó töltések számának megjelölését (latinul), pl.oktupólus (octu-8) azt jelenti, hogy a multipólus összetétele 8 töltést tartalmaz [1] .

Az ilyen konfigurációk kiválasztása összefügg a mező kiterjesztésével [2] a térforrások összetett, térben korlátozott rendszereiből (beleértve a források folyamatos eloszlását is) többmezőssé - az úgynevezett "multipole expanzió" [3] ] .

A mező jelenthet elektrosztatikus vagy magnetosztatikus mezőt, valamint azokhoz hasonló mezőket (például a newtoni gravitációs mezőt) [4] .

Az ilyen dekompozíció gyakran használható a mező hozzávetőleges leírására egy komplex forrásrendszerből, amely nagy (sokkal nagyobb, mint maga a rendszer mérete) távolságra van tőle; ebben az esetben fontos, hogy minden következő sorrend többpólusú mezője a távolsággal sokkal gyorsabban csökkenjen, mint az előzőeknél, ezért gyakran korlátozhatja magát néhány (a távolságtól és a szükséges pontosságtól függően) (a távolságtól és a szükséges pontosságtól függően) kifejezésre. ) többpólusú bővítés. Egy másik esetben, különféle okokból, a többpólusú bővítés akkor is kényelmesnek bizonyul, ha az összes sorrendet összegezzük (akkor végtelen sorozatról van szó); ebben az esetben nem csak nagy vonalakban adja meg a mező pontos kifejezését, hanem elvileg a forrásrendszertől tetszőleges távolságban (a belső régiók kivételével).

A statikus (vagy közelítőleg statikus) mezők mellett a többpólusú momentumokkal kapcsolatban gyakran beszélünk többpólusú sugárzásról - az emitterrendszer többpólusú momentumainak időbeli változásából adódó sugárzásról. Ez az eset abban különbözik, hogy benne a különböző rendű mezők a távolsággal egyformán gyorsan csökkennek, a szögtől való függésben különböznek.

Skalármező többpólusú kiterjesztése

Nyugalmi pontdíjak rendszere

Egy töltésrendszer elektrosztatikus potenciálja egy pontban $\mathbf {R}$

\varphi ({\mathbf {R}})=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i} |}},

hol vannak a töltések és azok koordinátái. Ha ezt a lehetőséget egy Taylor-sorozatba terjesztjük ki, megkapjuk $q_{i}$ ${\mathbf {r}}_{i}$

\varphi ({\mathbf {R)))=\sum \limits _{{l=0}}^{{\infty }}\varphi ^{{(l)))({\mathbf {R}}) ,

többpólusú kiterjesztésnek nevezzük , ahol a jelölés kerül bevezetésre

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\ összeg \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\pontok r_{i}^{\alpha _{l}}{\ frac {\partial ^{l)){\partial R^{\alpha _{1))\dots \partial R^{\alpha _{l))))\left({\frac {1}{R} }\jobb)

-a térpotenciálokat a többpólusú tágulás tagjának sorrendjének nevezzük . A 0. sorrendű kifejezésnek van formája $2^l$ $l$

\varphi ^{{(0)}}({\mathbf {R}})={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},

amely egybeesik egy ponttöltés potenciáljával (monopólus potenciáljával). Az 1. rendelési tag egyenlő $Q=\sum \limits _{i}q_{i}$

\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i} \right){\mathbf {n}}}{R^{2}}},

ahol a mentén irányított egységvektor . Ha bevezetjük a töltésrendszer dipólusmomentumát as , akkor a rendszer egybeesik a pontdipólus potenciáljával . Így a multipólusok 1. tágulási rendjében lévő potenciál alakja ${\mathbf {n}}={\mathbf {R}}/R$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {d}}=\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i}$ $\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +O\left({\frac {1}{R^{3}}}\jobbra).

Ha , akkor a dipólusmomentum nem függ az origó megválasztásától. Ha , akkor a pontban középpontos koordinátarendszert választhatunk , akkor a dipólusmomentum egyenlő lesz nullával. Az ilyen rendszert töltésközpont rendszernek nevezzük. A következő bővítési kifejezésnek a formája van $q=0$ $q\neq 0$ ${\mathbf {R}}_{0}={\mathbf {d}}/q$

\varphi ^{{(2)}}({\mathbf {R}})={\frac {D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}n_{{\alpha _{1 ))}n_{{\alpha _{2}}}}{2R^{3}}},

hol van a töltésrendszer kvadrupólmomentuma . Vezessük be a kvadrupólmomentummátrixot . Ekkor a multipólusok 2. tágulási rendjében lévő potenciál formát ölt $D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{{\alpha _{1}}}r_{i }^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}_{i}^{2})$ $D$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +{\frac {{\mathbf {n}}D{\mathbf {n}}}{2R^{3}}}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\jobb ).

A mátrix nyomtalan , azaz . Ráadásul szimmetrikus , azaz . Ezért a derékszögű koordináták tengelyeinek elforgatásával átlós alakra redukálható. $D$ ${\mathrm {tr}}D=0$ $D^{T}=D$

Általános esetben a potenciál harmadrendű hozzájárulása a következőképpen ábrázolható: $l$

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}} \dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},

ahol a töltésrendszer térmomentuma, ami egy harmadrendű irreducibilis tenzor. Ez a tenzor szimmetrikus bármely indexpárhoz képest, és eltűnik, ha bármely indexpár fölé hajtják. $d^{{\alpha _{1}\dots \alpha _{l))}$ $2^l$ $l$

Elosztott díjrendszer

Ha a töltés meghatározott sűrűséggel oszlik el , akkor a diszkrét eloszlás képleteiben a folytonos határértékre átlépve (vagy közvetlenül az eredeti képletekből származtatva) ebben az esetben is többpólusú kiterjesztést kaphatunk: $\rho ({\mathbf {r}})$

\varphi ({\mathbf {R)))=\int \limits _{{(V)}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}})}{|{\mathbf {R}}- {\mathbf {r}}|}}d^{3}{\mathbf {r}},

hol van az a térfogat, amelyben az elosztott töltés található. Ekkor a többpólusú momentumok alakja: $V$

q=\int \limits _{{(V)}}\rho ({\mathbf {r}})d^{3}{\mathbf {r}},

{\mathbf {d}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r}}){\mathbf {r}}d^{3}{\mathbf {r}} ,

D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r)))(3r^{{\alpha _ {1}}}r^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}^{2})d ^{3}{\mathbf {r}}

A többpólusú potenciál képlete változatlan marad. A diszkrét töltésrendszer esetét úgy kaphatjuk meg, hogy helyettesítjük az eloszlási sűrűségüket, amely δ-függvényekkel fejezhető ki :

\rho ({\mathbf {r}})=\sum _{i}q_{i}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{i}).

A potenciál kiszámításakor a képlet hasznos , ahol a Legendre polinomok , . [5] ${\frac {1}{|Rr|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({ \frac {r}{R}}\jobbra)^{n}$ $P_{{n}}(x)$ $x=\cos \theta$

Az elektrosztatikus térerősség többpólusú kiterjesztése

A töltésrendszer elektrosztatikus mezőjének erőssége megegyezik az elektrosztatikus potenciál gradiensével, ellenkező előjellel

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=-\nabla \varphi ({\mathbf {R}}).

Ebben a képletben a potenciál többpólusú tágulási erősségét behelyettesítve megkapjuk az elektrosztatikus tér erősségének többpólusú kiterjedését

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=0}}^({\infty }}{\mathbf {E}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}),

ahol

(\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l !}}\sum \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\partial ^ {l+1}}{\partial R_{i}^{\alpha _{0}}\partial R_{i}^{\alpha _{1}}\dots \partial R_{i}^{\alpha _ {n}}}}\left({\frac {1}{R}}\right)

- elektromos mező - mezők. $2^l$

Különösen a ponttöltés (monopólus) mezője a következő:

{\mathbf {E}}^{{(0)))({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}},

ami megfelel a Coulomb-törvénynek .

A pontdipólus mezője:

{\mathbf {E}}^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {3({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf { n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}.

Egy pontkvadrupólus mezője:

{\mathbf {E}}^{{(2)))({\mathbf {R}})={\frac {5{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf { n)))-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}.

Így a nyugalmi töltésrendszer elektromos tere a többpólusú tágulás 2. rendjében a következőképpen alakul:

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}}+{\frac {3({\mathbf {n }}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {5{\mathbf {n}}({\ mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}} }\jobb).

Ebből a képletből könnyen meghatározható az elektromos tér normál (sugárirányú) komponense

E_{n}({\mathbf {R}})={\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2} ))+{\frac {2{\mathbf {n}}{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {3{\mathbf {n}}D{\mathbf {n }}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}}}\jobbra).

Az érintőleges komponenst a normál kivonásával találhatjuk meg

E_{{\tau }}({\mathbf {R}})=E({\mathbf {R}})-{\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}} )={\frac {({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-D{\mathbf {n}}}{R^{4}}}+O\left({\ frac {1}{R^{5}}}\right).

Ha a normál (radiális) komponens gömbszimmetrikus töltéseloszlást tükröz, akkor a tangenciális komponens az elektrosztatikus mező nem gömbszerű hozzájárulását tükrözi . Így a kvadrupolmomentum nem csak akkor érdekes a vizsgálat szempontjából, ha a rendszer teljes töltése és dipólusmomentuma egyenlő nullával, hanem akkor is, ha a Coulomb-hozzájárulás nem nulla. Ekkor a tangenciális komponens képletének megfelelően a kvadrupólmomentum jellemzi az elektromos tér nem gömbszerűségének mértékét a töltésközpont rendszerben. Így mérték meg az atommagok elektromos kvadrupolmomentumait, és arra a következtetésre jutottak, hogy nincs gömbszimmetriájuk.

Statikus mágneses tér többpólusú kiterjesztése

Az állandó sebességgel mozgó töltések vektorpotenciálja a következőképpen alakul:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})={\frac {1}{c}}\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}{\mathbf {v}} _{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i}}|}}

Hasonló módon bomlik többpólusú kiterjesztésre:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=1}}^({\infty }}{\mathbf {A}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}).

A sorozat a -val kezdődik , mivel nincsenek mágneses töltések (mágneses töltéseket az alapvető kölcsönhatások fizikájában nem találtak, bár modellként használhatók a szilárdtestfizikai jelenségek leírására). Ez a kifejezés egy mágneses dipólnak felel meg (egy pont kör alakú áramvezető körvonal): $l=1$

{\mathbf {A}}^{{(1)))({\mathbf {R}})={\frac {[{\mathbf {m}},{\mathbf {R}}]}{R^ {3}}},

hol van az áramok (mozgó töltések) rendszerének mágneses momentuma : ${\mathbf {m}}$

{\mathbf {m}}={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {v}} _{én}]

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
Prokhorov A. M. (szerk.). Fizikai Enciklopédia . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .
Denisov V. I. II. fejezet. Stacionárius elektromágneses mezők // Előadások az elektrodinamikáról. oktatóanyag. - 2. kiadás - M . : Az UNC DO kiadója, 2007. - 272 p. - ISBN 978-5-88800-330-5 .

Jegyzetek

↑ Prohorov A. M. (szerk.). Fizikai Enciklopédia . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Természetesen a bemutatott mező egyszerre lehet potenciál és feszültség.
↑ Denisov V. I. II. fejezet. Stacionárius elektromágneses mezők // Előadások az elektrodinamikáról. oktatóanyag. - 2. kiadás - M . : Az UNC DO kiadója, 2007. - 272 p. - ISBN 978-5-88800-330-5 .
↑ Az olyan mezők esetében, mint a gravitációs, amelyeknek nincs negatív töltése, a többpólusú kiterjesztés csak páros sorrendet tartalmaz. Ebben az esetben a páros rendű többpólusú negatív töltéseket (például egy kvadrupólusban) ebben az esetben tisztán formálisan tekintjük.
↑ Li Tsung-dao Matematikai módszerek a fizikában. - M.: Mir, 1965. - 146. o