Zernike polinomok

A Zernike-polinomok olyan polinomok sorozata, amelyek merőlegesek az egységkörre . Fritz Zernike Nobel-díjas optikusról és a fáziskontraszt mikroszkóp feltalálójáról nevezték el . Fontos szerepet töltenek be az optikában [1] .

Definíciók

Vannak páros és páratlan Zernike-polinomok. Még a polinomokat is úgy definiáljuk

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )

és a páratlanok, mint

Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),

ahol m és n nemnegatív egész számok úgy, hogy n ≥ m , φ az azimutális szög és ρ a radiális távolság, . A Zernike polinomok -1 és +1 közötti tartományban korlátozottak, azaz. . $0\leq \rho \leq 1$ $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$

A radiális polinomokat a következőképpen definiáljuk ${\displaystyle R_{n}^{m))$

R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{ k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ ,k}

n − m páros értékére, páratlan n − m esetén pedig azonos nullával .

Egyéb ábrázolások

Ha a radiális részben a törtet faktoriálisokkal átírjuk a binomiális együtthatók szorzataként , megmutathatjuk, hogy a hatványokon lévő együtthatók egész számok: $\rho$

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(nm)/2}(-1)^{k}{\binom {nk}{k)) {\binom {n-2k}{{\tfrac {nm}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

Az ismétlődések azonosítására, annak bizonyítására, hogy ezek a polinomok a Jacobi-polinomok speciális esetei, differenciálegyenletek írásához stb., a hipergeometrikus függvények formájában történő jelölést használjuk :

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2))}\rho ^{n}\ { }_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2)),-{\tfrac {nm}{2));-n;\rho ^{-2}\jobb )\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {nm}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {nm}{2));1+{\tfrac {n+m}{2)); \rho ^{2}\jobbra)\end{igazított}}

n − m páros értékekre .

Tulajdonságok

Ortogonalitás

Az ortogonalitást a radiális részben az egyenlőség írja le

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{ n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

Az ortogonalitást a sarokrészben egyenlőségek halmaza képviseli

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi ​​​​\delta _{ |m |,|m'|},

\int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \ delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,

ahol a paraméter (néha Neumann-szorzónak is nevezik ) értéke 2 if és 1 if . A szög- és radiális részek szorzata megállapítja a Zernike-függvények ortogonalitását mindkét változóban, ha az egységkörre integráljuk: ${\displaystyle \varepsilon _{m))$ $m=0$ $m\neq 0$

\int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac { \varepsilon _{m}\pi>}{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

hol van a polárkoordináta-rendszer Jacobi -jele, és mind a számok és számok párosak. $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ $nm$ $n'-m'$

Példák

Radiális polinomok

Alább látható az első néhány radiális polinom.

R_{0}^{0}(\rho )=1

R_{1}^{1}(\rho )=\rho

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho

{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3))

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}

R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1

{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2))

{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4))

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (német) // Physica I : bolt. - 1934. - Bd. 8 . - S. 689-704 .

Ortogonális polinomok
Bessel-polinomok Gegenbauer polinomok Kravcsuk polinomok Laguerre polinomok Legendre polinomok Polachek polinomok Rogers polinomok Zernike polinomok Csebisev-polinomok Charlier-polinomok Hermite polinomok Jacobi polinomok