Laguerre polinomok

Laguerre polinomok
Általános információ
Képlet	$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\jobb)$
Skaláris szorzat	$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Tartomány	$x\ge0$
további jellemzők
Differenciálegyenlet	$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$
Valaki után elnevezve	Laguerre, Edmond Nicolas

A matematikában az Edmond Laguerre -ről (1834–1886) elnevezett Laguerre-polinomok a Laguerre-egyenlet kanonikus megoldásai :

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

amely egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet . A fizikai kinetikában ugyanezeket a polinomokat (néha a normalizálásig) általában Sonin vagy Sonin-Laguerre polinomoknak nevezik [1] . A Laguerre-polinomokat a Gauss-Laguerre kvadratúra képletben is használják az alábbi alakú integrálok numerikus kiszámítására:

\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.

A Laguerre-polinomok, amelyeket általában jelöléssel jelölnek, olyan polinomok sorozata, amelyek a Rodrigues-képlet segítségével megtalálhatók. $L_0,\;L_1,\;\ldots$

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n} _{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\válasszon k}x^k.

Ezek a polinomok ortogonálisak egymásra egy pontszorzattal :

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

A Laguerre-polinomok sorozata a Schaeffer-sorozat .

A Laguerre-polinomokat a kvantummechanikában használják, a Schrödinger-egyenlet egy elektronos atomra vonatkozó megoldásának radiális részében.

A Laguerre-polinomoknak más alkalmazásai is vannak.

Néhány első polinom

Az alábbi táblázat felsorolja az első néhány Laguerre-polinomot:

A Laguerre-polinomok a rekurzív képlettel definiálhatók:

L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad \forall k\geqslant 1,

előre definiálva az első két polinomot:

L_0(x)=1,

L_1(x)=1-x.

Az általánosított Laguerre-polinomok az egyenlet megoldásai: $L_n^a(x)$

x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,

szóval . $L_n(x)=L_n^0(x)$

Ortogonális polinomok
Bessel-polinomok Gegenbauer polinomok Kravcsuk polinomok Laguerre polinomok Legendre polinomok Polachek polinomok Rogers polinomok Zernike polinomok Csebisev-polinomok Charlier-polinomok Hermite polinomok Jacobi polinomok