Kravcsuk polinomok

Kravcsuk polinomok
Általános információ
Képlet	${\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_ {2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$
Skaláris szorzat	$(f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)$ .
Tartomány	$x\in {1,2,...N}$
további jellemzők
Valaki után elnevezve	Kravcsuk, Mihail Filippovics

A Kravcsuk-polinomok ( M. F. Kravchuk , 1929 ) egy diszkrét változó klasszikus ortogonális polinomjai egy egyenletes rácson, amelyeknél az ortogonalitási reláció nem integrál , hanem sorozat vagy véges összeg: . $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_ {n}^{2},\delta _{m,n}$

Itt van a súlyfüggvény, a másodfokú norma, . A súlyfüggvény egy állandó tényezőig a binomiális együtthatóra redukálódik . $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{Nx}$ ${\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n))))$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $p=q=1\left/2\right.$ $1\left/2^{N}\right.$

Ezen polinomok ismétlődési relációjának alakja . ${\megjelenítési stílus (n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x )={\bigl [}x+n(pq)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)}$

Egyszerű átalakításokkal formára redukálható

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n -1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}( x)}{d_{n}}}$ ,

ahol

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N))},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN))},\ quad \varepsilon =r(pq),\quad \Delta =-rpN.$

A Kravchuk-polinomok a Gauss-féle hipergeometrikus függvény segítségével fejezhetők ki :

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1} (-n,-x;-N; 1/p)$

A határértékben a Kravchuk polinomok átmennek a Hermite polinomokra : $N\to \infty$

$\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\jobbra)=H_{n}(x)$

A legegyszerűbb eset első négy polinomja : $p=q=1/2$

${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2 }-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

Irodalom

Sur une generalization des polynomes d'Hermite . M. Krawtchouk. CRAcad. sci. 1929. T.189, 17. sz. P.620 - 622 - a cikk, amelyben Kravcsuk polinomjait először mutatták be; a francia eredeti, valamint az angol és orosz fordítások elérhetők a linken.
A. F. Nyikiforov, S. K. Szuszlov, V. B. Uvarov. Diszkrét változó klasszikus ortogonális polinomjai. Moszkva, "Nauka", 1985.
A Krawtchouk polinomok kezdőlapja a Krawtchouk polinomoknak szentelt webhely, és különösen kiterjedt bibliográfiát tartalmaz.

Lásd még

Ortogonális polinomok
Bessel-polinomok Gegenbauer polinomok Kravcsuk polinomok Laguerre polinomok Legendre polinomok Polachek polinomok Rogers polinomok Zernike polinomok Csebisev-polinomok Charlier-polinomok Hermite polinomok Jacobi polinomok