Metrikus fa

A metrikus fa (vagy -fa) egy bizonyos típusú metrikus terek . Ezek a Gromov-féle értelemben vett hiperbolikus terek legegyszerűbb példái ; 0-hiperbolikus terekként határozhatók meg Gromov értelmében , azaz minden háromszögük nulla vékony . $\mathbb {R}$

Természetesen felmerülnek a geometriai csoportelméletben és a valószínűségszámításban .

Definíció

A geodéziai tér metrikus fa, ha olyan tér, amelyben minden háromszög állvány; más szóval, ha minden háromszögben van egy pont , amely mindhárom geodetikuson fekszik . $x$ $[xyz]$ $p$ ${\megjelenítési stílus [xy], [yz], [zx]}$

Tulajdonságok

A geodéziai tér akkor és csak akkor metrikus fa, ha bármely négy pontra teljesül a következő egyenlőtlenség: $x$ $p,q,x,y\in X$ $|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{\,|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+ |qx|_{X}\,\},$

ahol a pontok közötti távolságot jelöli és a metrikus térben .

|pq|_{X}

p

q

x

Ha a -hiperbolikus terek sorozata, és -re , akkor az ultralimit egy metrikus fa. $X_n$ $\delta _{n}$ $\delta _{n}\to 0$ $n\to\infty$ $X_n$
- A -hiperbolikus tér végtelenjében lévő kúp egy metrikus fa. $\delta$

Példák

Ha egy gráf kombinatorikus metrikával, akkor akkor és csak akkor metrika fa, ha a gráf fa ( azaz nincsenek ciklusai). $x$ $x$
Valós vonal, amelynek minden pontjához a valós vonal mentén van ragasztva.