A Kirchhoff-törvények közvetlen alkalmazásának módja

A Kirchhoff-szabályok közvetlen alkalmazásának módszere az elektromos áramkör kiszámítására abból áll, hogy B egyenletrendszert állítunk össze B ismeretlennel (B a vizsgált áramkör ágainak száma) két Kirchhoff-szabály szerint, és ezek későbbi megoldása.

A számítási módszer leírása

Fontolja meg egy olyan elektromos áramkör számítását, amely nem tartalmaz áramforrásokat . A kérdéses lánc B ágakból és Y csomópontokból áll. Számítása a B ágak áramainak meghatározására redukálódik . Ehhez ( Y - 1) független egyenleteket kell összeállítani az első Kirchhoff-szabály szerint, és K \u003d ( B - Y + 1) független egyenleteket a második Kirchhoff-szabály szerint . Az ezeknek az egyenleteknek megfelelő csomópontokat és kontúrokat függetlennek nevezzük (azaz legalább egy olyan ágat tartalmaznak, amely nem tartozik más csomópontokhoz/kontúrokhoz).

Az összeállított lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához használhatja a mátrix formát

AI=BE

ahol

A

és a B rendű áramok és EMF együtthatók négyzetes mátrixai ;

B

én

és ismeretlen áramok és adott EMF oszlopmátrixai.

E

Rendszermegoldás:

I=A^{-1}BE=GE

$A^{{-1}}$	$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vpontok &\vpontok & \ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatrix}}^{-1}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{ 21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}^{T}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{ 12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmátrix}}$

- inverz mátrix; az A mátrix determinánsa ; - elemek algebrai komplementerei (lásd az inverz mátrix megtalálásának módjait ). $\Delta$ $\Delta _{ik}$ $a_{{ik}}$

G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B }\\\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\g_{B1}&g_{B2}&\cdots &g_{BB}\end{bmátrix}}

a belső és kölcsönös vezetőképesség mátrixa (lásd a szuperpozíciós módszert ). ${\displaystyle g_{ii))$ $g_{{ik}}$

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\ I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cdots +g_{2B}E_{B};\\\vdots \\I_{B}=g_{B1} E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{mátrix}}\jobbra.

az ágáramokat meghatározó egyenletrendszer.

Az áramkörök ezzel a módszerrel történő kiszámításakor gyakran szükségessé válik nagyszámú egyenlet összeállítása, majd magasrendű mátrixok kiszámítása. Ezért a gyakorlatban más számítási módszereket alkalmaznak.

Példa a

Példaként tekintsük az áramkör kiszámítását, amelynek diagramja az ábrán látható - U \u003d 2 csomópontot és B \u003d 3 ágat tartalmaz, azaz K \u003d B - Y + 1 \u003d 3 - 2 + 1 \u003d 2 független kontúr (az ábrán a kontúrok szaggatott vonallal vannak jelölve - bármelyik pár közül választhat - 1 és 2 , vagy 2 és 3 , vagy 1 és 3 ).

A , , ágáramok pozitív irányait tetszőlegesen megválasztjuk (az irányok az ábrán már meg vannak jelölve). Az első Kirchhoff-törvény szerint egy ( Y − 1 = 2 − 1 = 1 ) független egyenlet alkotható például a csomópontra . $I_1$ $én_{2}$ $I_3$

-I_{1}-I_{2}+I_{3}=0

és a második Kirchhoff törvény szerint - két (K = 2) független egyenlet, például az 1. és 2. áramkörre

{\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2))

;

{\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3))

Ábrázoljuk ennek a három egyenletnek a rendszerét mátrix formában:

{\begin{mátrix}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{mátrix}~\\~\end{mátrix}}\jobbra.\end{mátrix }}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_ {2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_ {2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE

vagy

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$	$={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))){\begin{bmatrix}- r_ {2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2} \ \r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end { bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_ {1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmátrix}}{\begin {bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3} &r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\ E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=[G][E].$

Most összeállítunk egy aktuális egyenletrendszert:

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2 }=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_ {2}+g_{33}E_{3},\end{mátrix}}\jobbra.

ahol

g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}

;

g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2))

;

{\displaystyle g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2))

;

{\displaystyle g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2))

;

{\displaystyle g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2))

;

{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))

Áramkörök számítása áramforrással

Az egyenértékű áramkörök áramforrással kiszámításakor egyszerűsítések lehetségesek, mivel az áramforrásokkal rendelkező ágak áramai ismertek, és nem kell őket kiszámítani. Ezért a független áramkörök (áramforrások nélkül) száma, amelyekhez a második Kirchhoff-törvény szerint egyenleteket kell összeállítani, egyenlő K \u003d (B - B - Y + 1), ahol B a ágak áramforrásokkal. $_{J}$ $_{J}$

Irodalom

Villamosmérnök: Proc. egyetemeknek / A. S. Kasatkin, M. V. Nyemcov. - 7. kiadás, Sr. - M .: Felsőfokú. iskola, 2003. - 542 p.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Elektromos áramkörök számítási módszerei
Kirchhoff szabályainak közvetlen alkalmazása hurokáramok csomóponti potenciálok két csomópont koaguláció Cauera egyenértékű generátor szuperpozíciós átfedések komplex amplitúdók szakaszok áramköri meghatározók klasszikus operátor