Kimerülési módszer

A kimerítési módszer ( lat.  methodus extractionis ) egy ősi matematikai módszer , amely görbe vonalú geometriai alakzatok területeinek vagy geometriai testek térfogatának vizsgálatára szolgál . A módszer ötletét nem túl világosan Antiphon fejezte ki , azonban a fejlesztést és az alkalmazást Cnidus Eudoxus végezte .

A "kimerítési módszer" elnevezést 1647-ben Grégoire de Saint-Vincent javasolta , az ókorban a módszernek nem volt külön neve. Ennek a módszernek az indoklása nem támaszkodik az infinitezimál fogalmára , hanem implicit módon tartalmazza a határ fogalmát . A kimerítési módszer finomítása ezt követően integrálszámításhoz vezetett .

A módszer leírása

A módszer a következő volt: egy adott alakzat területének (vagy térfogatának) megtalálásához ebbe az ábrába más alakok monoton sorozatát írták be, és bebizonyosodott, hogy területük (térfogatuk) korlátlanul megközelíti a kívánt területet (térfogatot). ábra. Ezután kiszámítottuk a területek (térfogatok) sorozatának határát, amelyre azt a hipotézist állítottuk fel, hogy ez valamilyen A-val egyenlő, és bebizonyosodott, hogy ennek ellenkezője ellentmondáshoz vezet [1] . Mivel nem létezett általános korlátelmélet (a görögök kerülték a végtelen fogalmát), minden feladatnál megismételték ezeket a lépéseket, beleértve a határ egyediségének igazolását is.

A kimerítési módszer ebben a formában jól illeszkedett az ókori matematika szigorúan deduktív konstrukciójába, de számos jelentős hátránya volt. Először is rendkívül terjedelmes volt. Másodszor, nem volt általános módszer az A határértékének kiszámítására; Arkhimédész például gyakran mechanikai megfontolásokból vezette le, vagy egyszerűen csak intuitív kitalálta. Végül ez a módszer nem alkalmas végtelen alakzatok területeinek megkeresésére.

Indoklás

Eudoxus kimerítési módszerének elméleti alapját Eukleidész Elemek X. könyve tartalmazza . A fő lemma [2] ott van megfogalmazva :

Tétel 1. Két adott egyenlőtlen érték esetén, ha a nagyobbikból több mint felét, a maradékból pedig több mint felét levonjuk, és ezt folyamatosan megtesszük, akkor marad olyan érték, amely kisebb lesz, mint a megadott kisebb érték.

Ez egyike azon kevés tételeknek az ókori szerzők által megfogalmazott általános határelméletben. A 10. században Thabit ibn Qurra javasolta ennek a lemmának az általánosítását, a "fél" helyére "bármely résszel".

A kimerítési módszerrel Eudoxus szigorúan bizonyított számos, azokban az években már ismert felfedezéseket ( kör területe, piramis és kúp térfogata ). Eukleidész az Elemek című művében a kimerítés módszerét használta a 12. könyv hat tételének bizonyítására:

• 2. tétel (a kör területéről);
• 5. tétel (a tetraéder térfogatáról );
• tételek 10-12 ( egy kúp és egy henger térfogatáról );
• 18. tétel (a golyó térfogatának a sugarától való függéséről).

Alkalmazás

A kimerülés legtermékenyebb módszere Eudoxus kiemelkedő követője, Arkhimédész kezébe került, aki jelentősen javítani tudta és ügyesen alkalmazta számos új felfedezésben. Különösen a következőket találta:

• egy gömb felülete megegyezik a gömb nagy körének keresztmetszete négyszeresével;
• az egyenes vonallal levágott parabola szakaszának területe az ebbe a szakaszba írt háromszög területének 4/3-a;
• a gömb térfogata a körülötte körülírt henger térfogatának 2/3-a [3] .

A középkorban az európai matematikusok is használták a kimerítés módszerét, mígnem azt előbb az oszthatatlanok erősebb és technológiaibb módszere , majd a számítás kiszorította .

Lásd még

• Kvadratúra (matematika)

Irodalom

• Bashmakova I. G. Előadások a matematika történetéről az ókori Görögországban // Történelmi és matematikai kutatás . - M .: Fizmatgiz , 1958. - 11. sz . - S. 323-346 .
• A matematika története. 3 kötetben / Szerk. A. P. Juskevics . - M . : Nauka, 1970. - T. I.
• Nikiforovsky V. A. Az integrálhoz vezető út. — M.: Nauka, 1985.

Jegyzetek

1. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 333-335.
2. ↑ Eukleidész kezdetei / Görög fordítás és D. D. Mordukhai-Boltovsky megjegyzései M. Ya. Vygodsky és I. N. Veselovsky szerkesztői közreműködésével . - M. - L. : GTTI, 1948. - T. II. - S. 102.  (elérhetetlen link)
3. ↑ Arkhimédész golyó és henger tétele . Letöltve: 2019. július 3. Az eredetiből archiválva : 2019. június 26. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai Nagy orosz Britannica (online)