Gauss-Jordan módszer
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 9-én felülvizsgált
verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .
A Gauss-Jordan módszer (az ismeretlenek teljes kiküszöbölésének módszere) egy olyan módszer, amelyet lineáris algebrai egyenletrendszerek négyzetes rendszereinek megoldására , egy mátrix inverzének meghatározására , egy adott bázis vektor koordinátáinak vagy rangjának meghatározására használnak. egy mátrixból . A módszer a Gauss-módszer módosítása . C. F. Gaussról és Wilhelm Jordan német földmérőről és matematikusról nevezték el [1] .
Algoritmus
- Válassza ki a mátrix első bal oldali oszlopát , amelynek legalább egy nullától eltérő értéke van.
- Ha ebben az oszlopban a legfelső szám nulla, akkor változtassa meg a mátrix teljes első sorát a mátrix másik olyan sorával, ahol ebben az oszlopban nincs nulla.
- Az első sor összes eleme a kiválasztott oszlop felső elemével van osztva.
- A fennmaradó sorokból az első sort kivonjuk, megszorozzuk a megfelelő sor első elemével, hogy minden sor első eleme (az első kivételével) nulla legyen.
- Ezután ugyanezt az eljárást az első sor és az első oszlop törlése után az eredeti mátrixból nyert mátrixszal hajtjuk végre.
- Az eljárás egyszeri megismétlése után egy felső háromszög alakú mátrixot kapunk

- Vonja ki az utolsó előtti sorból az utolsó sort, megszorozva a megfelelő együtthatóval úgy, hogy a főátlón csak 1 maradjon az utolsó előtti sorban .
- Ismételje meg az előző lépést a következő sorokhoz. Ennek eredményeként egy identitásmátrixot és egy szabad vektor helyett egy megoldást kapunk (az összes transzformációt el kell végezni vele).
Kibővített algoritmus egy mátrix inverzének megtalálásához
Adva legyen :
Előrelépés (a főátló alatti nullák képzésének algoritmusa)
- Az A mátrix első sorát elosztjuk -vel, így kapjuk: , j az A mátrix egy oszlopa.


- Megismételjük a lépéseket az I. mátrixra a következő képlet szerint: , s az I mátrix oszlopa

Kapunk:
- Az első oszlopban 0-t fogunk alkotni:

- Ismételjük meg az I. mátrix lépéseit a következő képletekkel:

Kapunk:
- továbbra is hasonló műveleteket hajtunk végre a képletekkel:

feltéve, hogy
- Ismételjük meg az I. mátrix lépéseit a következő képletekkel:

feltéve, hogy

Kapunk:
Fordított mozgás (algoritmus nullák képzésére a főátló felett)
A képletet használjuk: , feltéve, hogy
Ismételjük meg a lépéseket az I mátrixra a következő képlet szerint: , feltéve, hogy
Végül megkapjuk:
Példa
A következő egyenletrendszer megoldásához :
3 × 4-es mátrixba írjuk, ahol az utolsó oszlop egy szabad tag:
Tegyük a következőket:
- A 2. sorhoz adjuk hozzá: −4 × 1. sor.
- A 3. sorhoz adjuk hozzá: −9 × 1. sor.
Kapunk:
- A 3. sorhoz adjuk hozzá: −3 × 2. sor.
- A 2. sort elosztjuk -2-vel
- Az 1. sorhoz adjuk hozzá: −1 × 3. sor.
- A 2. sorhoz hozzáadjuk: −3/2 × 3. sor.
- Az 1. sorhoz adjuk hozzá: −1 × 2. sor.
A jobb oldali oszlopban a megoldást kapjuk:

.
Az algoritmus megvalósítása C# programozási nyelven
névtér Gauss_Jordan_Method
{
osztály matematika
{
/// <összefoglaló>
Gauss-Jordan módszer (inverz mátrix)
/// </summary>
/// <param name="Matrix">Kezdeti mátrix</param>
/// <returns></returns>
nyilvános statikus kettős [,] GaussJordan ( double [,] Mátrix )
{
int n = Mátrix . GetLength ( 0 ); //A kezdeti mátrix mérete
double [,] xirtaM = new double [ n , n ]; //Identitásmátrix (kívánt inverz mátrix)
for ( int i = 0 ; i < n ; i ++)
xirtaM [ i , i ] = 1 ;
double [,] Mátrix_Big = new double [ n , 2 * n ]; //A kezdeti mátrix és az azonosság összekapcsolásával kapott közös mátrix
for ( int i = 0 ; i < n ; i ++)
for ( int j = 0 ; j < n ; j ++)
{
Mátrix_Big [ i , j ] = Mátrix [ i , j ];
Mátrix_Big [ i , j + n ] = xirtaM [ i , j ];
}
//Előrelépés (a bal alsó sarok nullázása)
for ( int k = 0 ; k < n ; k ++) //k-sorszám
{
for ( int i = 0 ; i < 2 * n ; i ++) //i-oszlop száma
Mátrix_Big [ k , i ] = Mátrix_Big [ k , i ] / Mátrix [ k , k ]; //A k-karakterlánc elosztása az első !=0 taggal, hogy eggyel konvertálja
for ( int i = k + 1 ; i < n ; i ++) //a k után következő sor i-száma
{
double K = Mátrix_Big [ i , k ] / Matrix_Big [ k , k ]; //Együttható
for ( int j = 0 ; j < 2 * n ; j ++) //j - a k után következő sor oszlopának száma
Mátrix_Nagy [ i , j ] = Mátrix_Nagy [ i , j ] - Mátrix_Nagy [ k , j ] * K ; //Az első tag alatti mátrixelemek nullázása eggyé konvertálva
}
for ( int i = 0 ; i < n ; i ++) //Frissítés, a kezdeti mátrix módosítása
for ( int j = 0 ; j < n ; j ++)
Mátrix [ i , j ] = Mátrix_Big [ i , j ];
}
//Visszamozgatás (a jobb felső sarok nullázása)
for ( int k = n - 1 ; k > - 1 ; k -- ) //k sorszám
{
for ( int i = 2 * n - 1 ; i > - 1 ; i --) //i-oszlop száma
Mátrix_Big [ k , i ] = Mátrix_Big [ k , i ] / Mátrix [ k , k ];
for ( int i = k - 1 ; i > - 1 ; i --) //a k után következő sor i-száma
{
double K = Mátrix_Big [ i , k ] / Matrix_Big [ k , k ];
for ( int j = 2 * n - 1 ; j > - 1 ; j --) //j - a k után következő sor oszlopszáma
Mátrix_Nagy [ i , j ] = Mátrix_Nagy [ i , j ] - Mátrix_Nagy [ k , j ] * K ;
}
}
//Elkülönül a közös mátrixtól
for ( int i = 0 ; i < n ; i ++)
for ( int j = 0 ; j < n ; j ++)
xirtaM [ i , j ] = Mátrix_Big [ i , j + n ];
return xirtaM ;
}
}
}
Jegyzetek
- ↑ A Jordan név „Jordánia” átírása hibás, de általánosan elfogadott, és a legtöbb orosz nyelvű forrásban megtalálható.
Irodalom
- Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2. kiadás), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0471624899 .
- Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann és Trivedi, Kishor S. (2006), Queuing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2. kiadás), Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-79156-0 .
- Calinger, Ronald (1999), A matematika kontextuális története , Prentice Hall , ISBN 978-0-02-318285-3 .
- Farebrother, RW (1988), Linear Least Squares Computations , STATISZTIKA: Tankönyvek és monográfiák, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-7661-9
- Higham, Nicholas (2002), Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2. kiadás), SIAM , ISBN 978-0-89871-521-7 .
- Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version , Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-16193-2 .
- Lipson, Marc & Lipschutz, Seymour (2001), Schaum vázlata a lineáris algebra elméletéről és problémáiról , New York: McGraw-Hill , p. 69–80, ISBN 978-0-07-136200-9 .
- Press, W.H.; Teukolsky, SA; Vetterling, WT & Flannery, BP (2007), 2.2 . szakasz , Numerikus receptek: The Art of Scientific Computing (3. kiadás), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Linkek
Az SLAE megoldásának módszerei |
---|
Közvetlen módszerek |
|
---|
Iteratív módszerek |
|
---|
Tábornok |
|
---|