Meromorf függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. június 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Egy régióban (vagy egy Riemann-felületen ) egy komplex változónak egy meromorf függvénye (a görög μέρος szóból – „rész” és μορφή – „forma”) egy holomorf függvény egy olyan régióban , amelynek minden szinguláris pontjában van egy pólus (tehát , a halmaz egy elszigetelt pontja , amelynek nincs határpontja a és ). $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $f$ ${\displaystyle P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \))$ $a_{i}$ $a_{i}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $P$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Definíció

Valódi meromorf függvényt ad egy hármas, ahol egy kompakt Riemann-felület , egy antiholomorf involúció (komplex konjugációs involúció), és egy térkép a Riemann-gömbre ( ). Sőt, minden valós függvénynek meg kell felelnie minden valós algebrai függvényből: minden valós együtthatóval rendelkező polinom valós meromorf függvény. Az involúció rögzített pontjainak halmaza egyszerű, páronként nem metsző zárt körvonalakból (oválisokból) áll. Ha össze van kötve (lekapcsolva), akkor a görbét nem elválasztónak (elválasztónak) nevezzük. Egy valódi meromorf függvény egy valós görbe oválisát kontúrrá alakítja át, ahol a leképezés mértéke az ovális függvény indexe - a fok abszolút értéke. $(P,\tau ,f),$ $P$ $\tau :P\to P$ $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z)))$ $z\in P.$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ $P^{\tau }\subset P$ $\tau$ ${\displaystyle P\setminus P^{\tau ))$ $f$ $a$ ${\megjelenítési stílus (P,\tau )}$ ${\hat {\mathbb {R} }}\Subset S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R)) .$ $(P,\tau ,f)$ ${\displaystyle a\in P^{\tau ))$ $f|_{a}.$

A valós meromorf függvények tere megszámlálható számú összefüggő komponensből áll, ahol minden komponens egy nem zárt véges dimenziós valós sokaság, és egész topológiai invariánsok megadásával különböztethető meg . Például a leképezés mértéke és a görbe genusa invariáns A függvény topológiai típusa egy számhalmaz ( ), ahol a burkolat lapjainak száma , a halmaz az oválisokon lévő függvényindexek halmaza , és egy szám egyenlő az elválasztó görbékkel és 0-val a nem elválasztó görbékkel. [egy] $n$ $f$ $g$ $P.$ $(P,\tau ,f)$ $g,n,\varepsilon \,|\,I$ $n$ $f,$ $I=(i_{1},...,i_{k})$ $(P,\tau ,f)$ $\varepsilon$

A tartományon lévő összes meromorf függvény halmaza egy mező a szokásos pontszerű műveletekhez képest, utólagos kiterjesztéssel eltávolítható szingularitásokban. $M(P)$ $P$

Tulajdonságok

Bármely holomorf függvény aránya , és , egy meromorf függvény -ben . $\varphi /\psi$ $P$ $\varphi$ $\psi$ $P$
Fordítva, egy tartományban (és egy nem kompakt Riemann-felületen ) bármely meromorf függvény ábrázolható , ahol és holomorf, és nincsenek közös nulláik a -ban . $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $P$

Így egy nem kompakt Riemann-felületen a mező egybeesik a holomorf függvények gyűrűjének hányadosainak mezőjével -ben . $M(P)$ $P$

Minden meromorf függvény egy folytonos leképezést határoz meg a tartománytól a Riemann-gömbig , ami holomorf leképezés a standard komplex szerkezethez képest . $f\in M(P)$ $f$ $P$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
Ezzel szemben bármely holomorf leképezés definiál egy meromorf függvényt a -n . Ebben az esetben a pólusok halmaza egybeesik a diszkrét halmazzal . ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \))$ $f$ $P$ $f$ $f^{{-1}}(\infty )$

Így egy komplex változó meromorf függvényei azonosíthatók holomorf leképezésekkel a Riemann-gömbre.

Bármilyen nem tömör Riemann-felületen létezik egy meromorf függvény adott pólusokkal , és mindegyikben megadva van a Laurent-dekompozíció fő része ( Mittag-Leffler-tétel a meromorf függvény dekompozíciójáról ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$
Egy kompakt Riemann felületen (például egy tóruszon ) ez a probléma általában megoldhatatlan - további feltételek szükségesek a fő részek illesztéséhez.

Lásd még

Levonás

Jegyzetek

↑ S. M. Natanzon, Valós meromorf függvények valós algebrai görbéken, Dokl. AN SSSR, 1987, 297. kötet, 1. szám, 40–43.

Linkek

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka . - 1969, 577 oldal.