Merevségi mátrix

A merevségi mátrix (Dirichlet-mátrix) egy speciális mátrixtípus, amelyet a végeselemes módszerben használnak parciális differenciálegyenletek megoldására . Elektrodinamikai és mechanikai problémák megoldására használják.

Általában a merevségi mátrix ritka , azaz nagyszámú nullát tartalmaz. Az ilyen típusú mátrixokkal való munkához speciális könyvtárakat hoztak létre ( mtl4 , SparseLib++ , SPARSPAK és mások)

Definíció

A merevségi mátrix elemei általában egyenlők $A^{k}$

A_{{ij}}=\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

Például a Poisson-egyenlet alapján

-\nabla ^{2}u=f

térben és a peremfeltételek azok $\Omega$ $u=0.$

Képzeljük el a függvényt sorozatként:

u\approx u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.

u_{i}

a függvény ismert értékei a csomópontokban, és néhány alapvető funkció

\varphi

akkor

A_{{ij}}^{{[k]}}=\int _{{háromszög}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

Mátrix létrehozása

Egy háromszögre

Legyen adott egy véges elem, az egyszerűség kedvéért háromszögletű. A merevségi mátrix valójában a csomópontok közötti kapcsolatokat állítja be. Mivel az elemnek három csomópontja van (helyi számozásban - 0, 1 és 2), a mátrix így fog kinézni

{\begin{bmatrix}S_{{00}}&S_{{01}}&S_{{02}}\\S_{{10}}&S_{{11}}&S_{{12}}\\S_{{20 }}&S_{{21}}&S_{{22}}\end{bmátrix}}

A következőkben egy háromszög mátrixát lokálisnak , a teljes rácsra egyszerre - globálisnak nevezzük .

Általában az elemeket lineáris függvényekkel határozzuk meg $S_{{ij}}$

\alpha _{1}={\cfrac {1}{4A}}{\big (}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\;+\;(y_{1 }-y_{2})x\;+\;(x_{2}-x_{1})y{\big )}.

ahol

A

a háromszög alakú elem területe.

$\alpha_2$ és az indexek ciklikus permutációjából kapjuk . Kényelmes egy mátrix meghatározójaként keresni $\alpha _{3}$ $\alpha_{1}$ $A$

A=\det {\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{bmátrix))

maguk $S_{{ij}}=\int (\nabla \alpha _{i})(\nabla \alpha _{j})dS\;\;\;\;\;i,j=0,1,2$

A leírt esetben a következő mátrixot állítjuk össze minden háromszögre:

{\begin{bmatrix}S_{{00}}=0&S_{{01}}={\cfrac {(y_{{1}}-y_{{2}})(y_{{2}}-y_{{ 0)))+(x_{{2}}-x_{{1}})(x_{{0}}-x_{{2}})}{4A}}&S_{{02}}={\cfrac {(y_{{2}}-y_{{1}})(y_{{1}}-y_{{0}})+(x_{{1}}-x_{{2}})(x_{ {0}}-x_{{1}})}{4A}}\\S_{{10}}={\cfrac {(y_{{0}}-y_{{2}})(y_{{2} }}-y_{{1}})+(x_{{2}}-x_{{0}})(x_{{1}}-x_{{2}})}{4A}}&S_{{11 }}=0&S_{{12}}={\cfrac {(y_{{2}}-y_{{0}})(y_{{0}}-y_{{1}})+(x_{{0} }}-x_{{2}})(x_{{1}}-x_{{0}})}{4A}}\\S_{{20}}={\cfrac {(y_{{0}} -y_{{1}})(y_{{1}}-y_{{2}})+(x_{{1}}-x_{{0}})(x_{{2}}-x_{{ 1)))}{4A}}&S_{{21}}={\cfrac {(y_{{1}}-y_{{0}})(y_{{0}}-y_{{2}}) +(x_{{0}}-x_{{1}})(x_{{0}}-x_{{2}})}{4A}}&S_{{22}}=0\end{bmátrix}}

Az első típusú általánosítás több háromszögre

Ahhoz, hogy a fent kapott sok különálló mátrixból egyetlen nagy mátrixot készítsünk, amely leírja a teljes számítási terület csomópontjai közötti kapcsolatokat, el kell végezni a mátrixok kombinálásának eljárását. Jelölje a szimbólum az elválasztott elemeket (a ábra), a szimbólum pedig a kombinált elemeket (b ábra). $d$ $c$

Jelölje - a függvényértékek sorvektora két háromszög csúcsainál (lásd az ábrát). A szimbólum egy mátrix transzpozícióját jelöli , azaz a függvényértékek vektora hat háromszög csomóponton. Nyilvánvalóan, ha ezeket kombináljuk, akkor csak négy komponenst tartalmazó vektort kapunk. $u_{d}^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}&u_{4}&u_{5}&u_{6}\end{bmatrix}}$ $u^{T}$ $u.$ $u_{c}$

Az átalakítás a séma szerint történik

u_{d}=Cu_{c}\;\Leftrightarrow \;{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\\u_{5}\ \u_{6}\end{bmatrix}}\;=\;{\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&1&&\\&&&1\\1&&&\end{bmátrix}}\cpont {\begin{ bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\\\end{bmatrix}}

A számozás természetesen tetszőleges: a függvénynek egyenlőnek kell lennie a megfelelő csúcsokban. A mátrixot transzformációs mátrixnak, magát az egyenletet pedig csatolt rendszernek nevezik. $C$

Most felírjuk a merevségi mátrixot két háromszögre:

$S_{d}={\begin{bmatrix}S^{{(1)}}&0\\0&S^{{(2)))\end{bmatrix}}\;\Baljobbra nyíl \;{\begin{bmátrix} S_{{00}}&S_{{01}}&S_{{02}}&&&\\S_{{10}}&S_{{11}}&S_{{12}}&&&\\S_{{20}}&S_{ {21}}&S_{{22}}&&&\\&&&S_{{33}}&S_{{34}}&S_{{35}}\\&&&S_{{43}}&S_{{44}}&S_{{45} }\\&&&S_{{53}}&S_{{54}}&S_{{55}}\\\end{bmátrix}}$

Eredmény mátrix $S_{{global}}=C^{T}S_{d}C=$

={\begin{bmátrix}S_{{00}}^{{(1)}}+S_{{55}}^{{(2)))&S_{{01}}^{{(1))) +S_{{53}}^{{(2)}}&S_{{02}}^{{(1)}}&S_{{54}}^{{(2)}}\\S_{{10} }^{{(1)}}+S_{{35}}^{{(2)}}&S_{{11}}^{{(1)}}+S_{{33}}^{{(2) )}}&S_{{12}}^{{(1)}}&S_{{34}}^{{(2)}}\\S_{{20}}^{{(1)}}&S_{{ 20}}^{{(1)}}&S_{{22}}^{{(1)}}&0\\S_{{45}}^{{(2)}}&S_{{43}}^{ {(2)}}&0&S_{{44}}^{{(2)}}\\\end{bmátrix}}

Vagyis minden következő lépésnél új elemekkel kell kiegészíteni a meglévőket.

A második típusú általánosítás több háromszögre

Legyen egy terület ábrázolva és háromszögekre bontva az ábrán látható módon. Ez a háló tartalmazzon csomópontokat. Hozzunk létre egy globális mátrixot (nyilván méretű ), és töltsük fel nullákkal. Kezdjük például a háromszögek lokális mátrixainak felépítését $N$ ${\mathfrak {S}}$ $N \x N$ $S$ $\Delta 036.$

Vezessünk be egy lokális számozást erre a háromszögre: legyen a felső csúcsának egy helyi szám , majd az óramutató járásával megegyező irányban és . Más szóval, a globális számok megfeleljenek a helyi számoknak . $0$ $egy$ $2$ $0,3,6$ $0,1,2$

Készítsünk egy mátrixot erre a háromszögre a fent leírtak szerint, így kapunk valami hasonlót

S={\begin{bmatrix}S_{00}&S_{01}&S_{02}\\S_{10}&S_{11}&S_{12}\\S_{20}&S_{21}&S_{22 }\end{bmátrix}}

Most cseréljük le a helyi számozást a globálisra. Vagyis a lokális számot globális számként írjuk , - as , - as és így tovább. $S_{00}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S_{00))))$ $S_{01}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S_{03))))$ $S_{02}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S_{06))))$

Kap

{\mathfrak {S}}={\kezdet &0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\S_{20}&0&0&S_{21}&0&0&S_{22}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}

Tegye ugyanezt a többi háromszöggel is. Emlékeztetni kell arra, hogy a számot a globális cellához kell "hozzáfűzni", azaz hozzá kell adni a már meglévőhöz.

A peremfeltételek elszámolása

Dirichlet kifejezései

Az első típusú peremfeltételek esetén szükséges a mátrix megváltoztatása . ${\mathfrak {S}}$

A peremfeltétel azt mondja, hogy a függvény a határ csomópontjainál nulla. Csomópont esetén törölni kell a -edik oszlopot és a -edik sort a mátrixban , valamint magát a csomópontot is törölni kell a rácscsomópontok tömbjéből. $u_{i,j}$ $én$ $j$ ${\mathfrak {S}}$

Neinman feltételei

A második típusú peremfeltételek esetén a globális mátrix nem változik.

Irodalom

Zienkiewicz, K. Morgan - Véges elemek és közelítés, 1983.
PP Silvester, RL Ferrari - Véges elemek villamosmérnökök számára, 1986.
E. Suli - Végeselem-módszerek parciális differenciálegyenletekhez, 2011
KJ Bathe, EL Wilson - Numerikus módszerek a végeselemes elemzésben, 1982