Markov folyamat

A Markov-folyamat olyan véletlenszerű folyamat , amelynek fejlődése az időparaméter bármely adott értéke után nem függ az azt megelőző evolúciótól , feltéve, hogy a folyamat értéke ebben a pillanatban rögzített (a folyamat „jövője” nem függ a „múltról” egy ismert „jelennel”, egy másik értelmezés ( Wentzel ): A folyamat „jövője” csak a „jelen” keresztül függ a „múlttól”. $t$ $t$

A Markov-folyamat egy elsőrendű autoregresszív AR(1): . ${\displaystyle X_{t}=c+\alpha X_{t-1}+\varepsilon _{t))$

A Markov-lánc egy Markov-folyamat speciális esete, amikor az állapottere diszkrét (azaz legfeljebb megszámlálható) [1] .

Történelem

A Markov-folyamatot meghatározó tulajdonságot általában Markov-tulajdonságnak nevezik; először A. A. Markov fogalmazta meg , aki 1907-es munkáiban kezdeményezte a függő vizsgálatok sorozatainak és a hozzájuk kapcsolódó valószínűségi változók összegének tanulmányozását. Ez a kutatási irány a Markov-láncok elmélete .

Azonban már L. Bachelier munkájában látható egy kísérlet arra, hogy a Brown-mozgást Markov-folyamatként kezeljék, amely kísérlet Wiener 1923-as kutatása után kapott igazolást. .

A folytonos idejű Markov-folyamatok általános elméletének alapjait Kolmogorov fektette le .

Markov-tulajdon

Általános eset

Legyen egy valószínűségi tér valamilyen ( részben rendezett ) halmaz szerint szűrve ; és legyen egy mérhető tér . A szűrt valószínűségi téren definiált véletlenszerű folyamatot úgy tekintjük, hogy kielégíti a Markov-tulajdonságot , ha minden és esetén $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $({\mathcal {F}}_{t},\ t\in T)$ $T$ $(S,{\mathcal {S}})$ $X=(X_{t},\t\in T)$ $A\in {\mathcal {S}}$ $s,t\in T:s<t$

\mathbb {P} (X_{t}\in A|{\mathcal {F}}_{s})=\mathbb {P} (X_{t}\in A|X_{s}).

A Markov-folyamat egy véletlenszerű folyamat, amely természetes szűréssel kielégíti a Markov - tulajdonságot .

Markov láncokhoz diszkrét idővel

Ha egy és diszkrét halmaz , a definíció újrafogalmazható: $S$ $T=\mathbb {N}$

\mathbb {P} (X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\pontok ,X_{0 }=x_{0})=\mathbb {P} (X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1})

Példa egy Markov-folyamatra

Vegyünk egy egyszerű példát egy Markov-sztochasztikus folyamatra. Egy pont véletlenszerűen mozog az x tengely mentén. A t = 0 időpontban a pont az origóban van, és egy másodpercig ott is marad. Egy másodperccel később egy érmét dobnak - ha a címer kiesett, akkor az X pont egy hosszegységgel jobbra, ha farok - balra mozog. Egy másodperccel később az érmét újra feldobják, és ugyanazt a véletlenszerű mozgást hajtják végre, és így tovább. A pont helyzetének megváltoztatásának folyamata („ vándorlás ”) egy véletlenszerű folyamat diszkrét idővel ( t = 0, 1, 2, …) és megszámlálható állapothalmazzal. Egy ilyen véletlenszerű folyamat Markov, mivel a pont következő állapota csak a jelenlegi (jelenlegi) állapottól függ, és nem függ a múltbeli állapotoktól (nem mindegy, hogy a pont milyen úton és mennyi időre jutott el az aktuális koordinátára).

Irodalom

Dyakonova E. E. Elágazási folyamatok Markov véletlenszerű környezetben //Diskret. Mat., 26:3 (2014), 10–29

Lásd még

Jegyzetek

↑ A. V. Bulinszkij, A. N. Shiryaev . Véletlenszerű folyamatok elmélete. - Fizmatlit , 2005.

Linkek

Markov-folyamat / A. V. Prohorov // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Weisstein, Eric W. Markov folyamat (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .