Majoranta

A Majorant (a francia szakszóból – emelni) egy olyan kifejezés, amelyet a matematikában több olyan fogalom megjelölésére használnak, amelyek általánosítják a felsőbbség vagy a pontos felső korlát fogalmát . Leggyakrabban integrálok és sorozatok konvergenciájának bizonyítására használják.

Egy megrendelt készlet majoránsa

A rendezett halmaz majoránsának fogalmát a halmaz felsőbbségének meghatározásához vezetjük be. Legyen M egy rendezett halmaz részhalmaza. Ekkor az M halmaz majoránsa nem kisebb, mint M bármely eleme. Az M halmaz felsőrésze az M halmaz összes majoránsának minimuma. [1]

A függvény majoránsa

Egy függvény majoránsa olyan függvény, amelynek értékei nem kisebbek, mint az adott függvény megfelelő értékei a független változó figyelembe vett intervallumán. Az integrálható függvénysorozat majoránsának integrálhatósága elégséges feltétele a sorozat határértékének integráljának létezésének. [2]

Példa

Legyen integrálható függvények korlátja és van integrálható majoráns. Ekkor az integrál jele alatt áttérhetünk a határértékre: [3] $f_{n}(x),n=1,2,...$ $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ $g(x)\geq |f_{n}(x)|,n=1,2,...$

\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{n}(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{ +\infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx

Sorozat Majorant

Egy sorozat majoránsa egy numerikus sorozat , amelynek minden tagja egy bizonyos számtól kezdve nem kisebb, mint a sorozat megfelelő tagjainak abszolút értéke. Ha az eredeti sorozat az argumentumtól függ, például hatvány vagy trigonometrikus , akkor adja meg azt az intervallumot, amelyen az egyenlőtlenség teljesül. A mátrixsorok majoránsainak összeállításához a mátrixnormát használjuk .

Főként egyszerű, jól konvergáló sorozatokat használnak - egydimenziós és többdimenziós geometriai progressziót , valamint olyan sorozatokat, amelyekben a kifejezések nevezője egy faktoriális . A majorant konvergenciája az eredeti sorozat konvergenciáját jelenti. Függvénynek számító sorozatok esetében a majoránsok felépítése a fő eszköz a konvergencia bizonyítására.

Ilyenek például a Hadamard-féle számsortétel bizonyítása , Abel-lemmája több összetett változó sorozatára, valamint egy trigonometrikus sorozat pontszerű konvergenciája. [4] [5]

Osztály szakos

A majorant fogalma bármely halmazra bevezethető, ha adott rajta egy numerikus függvény. Egy osztály vagy részhalmaz majoránsa egy olyan elem, amelynek függvényértéke ezen osztály vagy részhalmaz függvényértékeinek felső része. Hasonló meghatározásokat vezetünk be a bemutatás egyszerűsítése érdekében. [6]

Jegyzetek

↑ Korlátozott halmazok. Majoránsok és minoránsok. . Letöltve: 2019. június 3. Az eredetiből archiválva : 2019. június 3. (határozatlan)
↑ Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : "Baglyok. enciklopédia" , 1988. - S. 847 .
↑ MAJORÁNS ÉS KISEBB . Letöltve: 2019. június 3. Az eredetiből archiválva : 2019. június 3. (határozatlan)
↑ Orientációs előadások kivonata a matematika államvizsgához az "Alkalmazott matematika és fizika" irányába (Szentpétervári Állami Egyetem) . Letöltve: 2019. június 3. Az eredetiből archiválva : 2019. június 3. (határozatlan)
↑ Átfogó elemzés . Letöltve: 2019. június 3. Az eredetiből archiválva : 2018. november 23. (határozatlan)
↑ RÖGZÍTETT ÁTMÉRŐJŰ ÉS CSÚCSSZÁMÚ GRAFIKOK OSZTÁLYÁNAK FŐ- ÉS KISEBBSÉGEI. T. I. Fedorjajeva . Letöltve: 2019. június 3. Az eredetiből archiválva : 2019. június 3. (határozatlan)