Liouville szám

A Liouville-szám egy irracionális szám , amely racionális számokkal közelíthető úgy, hogy bármely egész számhoz végtelen sok ( ) egész számpár van , így: $x$ $n$ $(p,q)$ $q>1$

{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n))))

A diofantin szám [1] olyan irracionális szám, amely így nem ábrázolható, vagyis ha racionális számmal közelítjük, a hiba legalább a nevező egy bizonyos hatványa:

{\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q} }\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha ))))

Liouville algebrai számközelítési tétele szerint minden algebrai irracionális szám diofantinusz. Ezért minden Liouville-szám transzcendentális , ami lehetővé teszi a transzcendentális számok racionális számok szupergyors konvergens sorozatának összegeként való explicit megalkotását.

A diofantin számok metrikusan tipikusak: halmazukban teljes Lebesgue mérték van . Ezzel szemben a Liouville-számok topológiai szempontból tipikusak: halmazuk reziduális .

A Liouville-számok irracionalitásának mértéke: sőt, ha egy szám irracionalitásának mértéke végtelen, akkor az Liouville (néha ezt a tulajdonságot a Liouville-számok definíciójának tekintik). $\mu (x)=+\infty$

A Liouville-szám klasszikus példája a Liouville-állandó , amelyet a következőképpen definiálunk:

\sum _{{k=1}}^{\infty }10^{{-k!}}=0{,}11000100000000000000000010000\lpont

Jegyzetek

↑ Milnor J. Holomorf dinamika. Bevezető előadások = Dynamics in One Complex Variable. Bevezető előadások. - Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, 2000.