Yoneda Lemma

Yoneda lemmája a Hom functorral kapcsolatos eredmény ; Cayley klasszikus csoportelméleti tételének kategóriaelméleti általánosítása (ha egy csoportot egy objektum kategóriájának tekintünk). A lemma lehetővé teszi egy tetszőleges kategória beágyazását a funktorok kategóriájába ebből a halmazok kategóriájába . Ez egy fontos eszköz, amely lehetővé tette számos eredmény elérését az algebrai geometriában és az ábrázoláselméletben .

Általános eset

Egy adott objektum tetszőleges (helyileg kicsi) kategóriában figyelembe vehetjük a Hom kovariáns függvényt , amelyet a következőképpen jelölünk: $A$

h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)

Yoneda lemmája kimondja, hogy a kategória bármely objektumánál a természetes átalakulások egy kategóriából egy tetszőleges függvényre egy kategóriából halmazkategóriába egy az egyhez összhangban vannak a következő elemekkel : $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}$ $F$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$ $F(A)$

\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)

Egy adott természetes átalakulás -ból a megfelelő elembe , azaz a természetes átalakulást az azonos morfizmus képe egyedileg határozza meg. $\Phi$ $h^{A}$ $F$ $F(A)$ $u=\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})$

A lemma kontravariáns változata a kontravariáns függvényt veszi figyelembe:

h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)

sokaknak küldve . Egy tetszőleges kontravariáns függvényre től -ig $x$ $\mathrm {Hom} (X,A)$ $G$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$

\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)

A „beesik valamibe” mnemonikus szabályt akkor használjuk, ha egy rögzített objektummá való morfizmust vizsgálunk.

A Yoneda-lemma bizonyítását a következő kommutatív diagram mutatja be :

A diagram azt mutatja, hogy a természetes átalakulás teljesen meghatározott , mivel bármely morfizmus esetén : $\Phi$ $\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})=u$ $f\colon A\to X$

\Phi _{X}(f)=(Ff)u

Ezenkívül ez a képlet bármely természetes transzformációt definiál (mivel a diagram kommutatív). A kontravariáns eset bizonyítása hasonló. $u\in F(A)$

Yoneda befektetése

A Yoneda-lemmának egy speciális esete az, amikor a funktor egyben Hom funktor is. Ebben az esetben Yoneda lemmájának kovariáns változata kimondja, hogy: $F$

\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)

Az egyes kategóriaobjektumok hozzárendelése a megfelelő Hom-függvényhez és minden morfizmus a megfelelő természetes transzformációhoz egy kontravariáns függvényt definiál tól -ig , vagy egy kovariáns függvényt: $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}=Hom(A,-)$ $f\colon B\to A$ $\mathrm {Hom} (f,-)$ $h^{-}$ ${\mathcal C}$ $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$

h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}

Ebben a helyzetben Yoneda lemmája kimondja, hogy egy teljesen egyértékű funktor , azaz egy beágyazást definiál a -beli funktorok kategóriájába . $h^{-}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathbf {Set}}$

Ellentétes esetben a Yoneda-lemma szerint:

\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)

Ezért egy teljesen univalens kovariáns függvényt határoz meg (a Yoneda beágyazás): ${\displaystyle h_{-))$

h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}

Irodalom

Freyd, Peter (1964), Abeli-kategóriák (2003-as reprint kiadás), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row , < http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html > .
McLane S. 3. fejezet. Univerzális konstrukciók és határértékek // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .