Yoneda lemmája a Hom functorral kapcsolatos eredmény ; Cayley klasszikus csoportelméleti tételének kategóriaelméleti általánosítása (ha egy csoportot egy objektum kategóriájának tekintünk). A lemma lehetővé teszi egy tetszőleges kategória beágyazását a funktorok kategóriájába ebből a halmazok kategóriájába . Ez egy fontos eszköz, amely lehetővé tette számos eredmény elérését az algebrai geometriában és az ábrázoláselméletben .
Egy adott objektum tetszőleges (helyileg kicsi) kategóriában figyelembe vehetjük a Hom kovariáns függvényt , amelyet a következőképpen jelölünk:
.Yoneda lemmája kimondja, hogy a kategória bármely objektumánál a természetes átalakulások egy kategóriából egy tetszőleges függvényre egy kategóriából halmazkategóriába egy az egyhez összhangban vannak a következő elemekkel :
.Egy adott természetes átalakulás -ból a megfelelő elembe , azaz a természetes átalakulást az azonos morfizmus képe egyedileg határozza meg.
A lemma kontravariáns változata a kontravariáns függvényt veszi figyelembe:
,sokaknak küldve . Egy tetszőleges kontravariáns függvényre től -ig
.A „beesik valamibe” mnemonikus szabályt akkor használjuk, ha egy rögzített objektummá való morfizmust vizsgálunk.
A Yoneda-lemma bizonyítását a következő kommutatív diagram mutatja be :
A diagram azt mutatja, hogy a természetes átalakulás teljesen meghatározott , mivel bármely morfizmus esetén :
.Ezenkívül ez a képlet bármely természetes transzformációt definiál (mivel a diagram kommutatív). A kontravariáns eset bizonyítása hasonló.
A Yoneda-lemmának egy speciális esete az, amikor a funktor egyben Hom funktor is. Ebben az esetben Yoneda lemmájának kovariáns változata kimondja, hogy:
.Az egyes kategóriaobjektumok hozzárendelése a megfelelő Hom-függvényhez és minden morfizmus a megfelelő természetes transzformációhoz egy kontravariáns függvényt definiál tól -ig , vagy egy kovariáns függvényt:
.Ebben a helyzetben Yoneda lemmája kimondja, hogy egy teljesen egyértékű funktor , azaz egy beágyazást definiál a -beli funktorok kategóriájába .
Ellentétes esetben a Yoneda-lemma szerint:
.Ezért egy teljesen univalens kovariáns függvényt határoz meg (a Yoneda beágyazás):
.